由一道简单的最值问题引发的思考

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(葫芦岛市第二高级中学 辽宁葫芦岛 125001)

由一道简单的最值问题引发的思考

●张楠

(葫芦岛市第二高级中学 辽宁葫芦岛 125001)

学习抛物线时，笔者给学生布置了一道简单的练习题：

题刚布置完，学生便思路涌动，很快就得出了答案，并且全部正确，解法如下：

为了进一步熟悉过程以及加强学生的计算能力，笔者对这道题做了一个小变动：

与问题1解法类似，也是先列出

细心的学生进一步计算发现：

k·kPA=-1.

对于问题2，同样可以计算出

k·kPB=-1.

猜想设P是抛物线y2=4x上一动点，点M(a,b)(b≠0)不在抛物线上，过点P的切线记为l，斜率为k，当|PM|取得最小值时，k·kPM=-1.

令f′(y)=0，变形得

(1)

另一方面，抛物线在x轴上方的部分可表示为

从而

对于这个结论的取得，学生们都很高兴.正当得意之时，笔者提出一个问题：若抛物线是任意的，结论还成不成立?顿时，课堂上鸦雀无声，学生都在思考.

定理1设Q是抛物线y2=2px(p>0)上一动点，点M(a,b)(b≠0)不在抛物线上，过点Q的切线记为l，斜率为k，则|QM|取得最小值的充要条件是k·kQM=-1.

令f′(y)=0，则

另一方面，抛物线在x轴上方的部分可表示为

从而

(3)

对比式(2)和式(3)，不难发现这2个方程同解.由此，定理1得证.

众所周知，抛物线的标准形式有4种，同理可知对于其他3种形式的抛物线也应有相应的结论成立.探究到这里，笔者感到非常欣慰，学生真正思考起来，思路拓宽了，积极性高涨起来.接着，笔者引导学生思考：我们知道抛物线上顶点到焦点的距离最近，如果把焦点改为在对称轴上任取的点，还会不会有同样的结论？

问题3设Q是抛物线y2=2px(p>0)上的一个动点，点C(a,0)(a≠0)，问：|QC|min=|OQ|是否成立?

令f′(y)=0,得

y[y2+2p(p-a)]=0.

综上所述，只有当a≤p时,|QC|min=|a|成立.

定理2已知抛物线y2=2px(p>0)，N(a,0)(a≠0)是x轴上的一个动点，当a≤p时，点N到抛物线上顶点距离最短.

对于a>p的情况，可根据问题1的解法，求得最短距离以及相应的点的坐标.

其实，学习并不那么枯燥、死板，只要给学生想象的空间和时间，他们会有很多想法.当他们将这些想法付诸实践，不仅加深了对所学知识的理解，更提高了学生学习数学的兴趣，同时这些想法也会对教师产生一定的积极影响.所谓“教学相长”，说的就是这个道理，因此教师要带动学生多思考、多实践.