一个背景 多种题型——一类关于等腰三角形个数问题的解决途径

●

(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

一个背景多种题型
——一类关于等腰三角形个数问题的解决途径

●周宗格

(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

已知平面上的2个点，在平面上找出符合某些条件的另一个点，使这3个点构成等腰三角形，这样的点的个数或相关问题是中考数学的常见题型.这类试题的知识覆盖面广，综合性较强，有些题意构思非常精巧，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.学生在求解这类问题时，往往会出现漏解、错解.为了帮助学生掌握这一题型的特征和解法，本文筛选了几例近年的中考试题(或其变式题)，对其类型与解法予以剖析，供参考.

1 背景问题

已知平面上给定的2个点A,B，在平面上取一点P使△PAB为等腰三角形.

根据等腰三角形的概念及性质，结合分类讨论思想，容易得到如下结论：

(1)如果AB为底边，则作AB的中垂线(如图1)，点P一定在中垂线上；

(2)如果AB为腰且∠A为顶角，则以点A为圆心、AB长为半径画圆(如图2)，点P一定在这个圆上；

(3)如果AB为腰且∠B为顶角，则以点B为圆心、AB长为半径画圆(如图2)，点P一定在这个圆上.

图1 图2

2 题型

2.1 一览无遗，可直接用背景

此类题型的条件与背景问题非常接近，但往往会增加一些条件，如把问题放到网格或坐标系里，除找个数问题外还有可能求符合要求的点的坐标等问题.

例1如图3所示的正方形网格中，网格线交点称为格点．已知A,B是2个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是

( )

A．6 B．7 C．8 D．9

(2010年湖南省株洲市数学中考试题)

图3 图4

图5 图6

分析若A为顶角的顶点，如图4，以点A为圆心、AB长为半径作弧，交网格于点C1,C2；若B为顶角的顶点，如图5，以点B为圆心、BA长为半径作弧，交网格于点C3,C4；若C为顶角的顶点，则C点应为AB的垂直平分线与网格的交点，如图6作AB的垂直平分线交网格于点C5,C6,C7,C8.故选C.

评注此题是把背景问题放在网格内来考虑.若熟悉它的背景只要分别以点A,B为圆心、AB长为半径作弧，同时作出AB的垂直平分线，然后看它们与网格内的格点有几个不同交点就可以了，这样可以迅速得出答案，还可以有效避免漏解的情况发生.

例2如图7，点A,B,P在⊙O上，且∠APB=50°.若M为⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有

( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

(2010年陕西省数学中考试题)

图7 图8

分析如图8所示，分别以点A,B为圆心、AB长为半径作圆，同时作出AB的垂直平分线，容易看出它们与⊙O共有4个不同的交点.故选D.

例3如图9，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x,y轴的2条直线a,b相交于点A(3，4)．联结OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是______.

(2010年四川省宜宾市数学中考试题)

图9 图10

分析如图10，分别以点O,A为圆心、OA长为半径作圆，同时作出OA的垂直平分线，容易看出它们与直线a共有4个不同的交点，然后通过计算可以得出4个点的坐标分别为

评注此题把该类问题放到了坐标系的背景下，多了求坐标的环节.解决此类问题也应该把所有符合要求的点先全部找到，不遗漏，然后才是计算的问题.

2．2 已知个数，需分析背景

例4已知点A,B,P是⊙O上不同的3个点，∠APB=α，点M是⊙O上的动点，且使△ABM为等腰三角形.若满足题意的点M只有2个，则符合条件的α的值有

( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析易知AB的垂直平分线与⊙O必有2个交点，因此满足题意的点M至少有2个.而此题条件告诉我们满足题意的点M只有2个，说明分别以点A,B为圆心、AB长为半径的2个圆与⊙O的交点只可能是以下2种情况：

(1)以点A,B为圆心、AB长为半径的2个圆与⊙O除点A,B外无其他交点(如图11)，此时AB为⊙O的直径，α=90°；

(2)点A,B为圆心、AB长为半径的2个圆与⊙O的交点除点A,B外，都与M1(或M2)重合(如图12)，此时AM1=BM1=AB，即△ABM1是等边三角形，易知α=60°或α=120°.

故选C.

图11 图12

评注此题对多数学生来说难度较大，不仅要知道背景，还要能分析为什么满足题意的点M只有2个，对学生思维的深刻性和灵活性要求较高.

2.3 增加条件，要挖掘背景

图13

( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

(2010年山东省济南市数学中考试题)

图14

分析该题问点E的位置共有几个，结合条件容易知道等价于问这样的点P有几个.由条件可知，在点E运动的过程中始终有BP=BA=4，且点E运动到点C位置时，P在点A关于BC的对称点A′的位置，因此点P的轨迹是以点B为圆心、4为半径的半圆上，如图14所示(不含点A).此时再作线段BC的中垂线及分别以点B,C为圆心、BC长为半径的2个圆，容易看出它们与点P的轨迹有4个交点(如图14).故选C.

( )

A．2 B．3 C．4 D．5

(2012年浙江省杭州市数学中考试题)

分析此题的解析式中含参数k，对很多学生造成干扰，他们会对k进行讨论，看不清问题的关键所在，出现漏解的情况在所难免.事实上，只要稍作分析便知该抛物线必过点A(-1,0)和C(0,-3)，问题就转化为已知在坐标平面内有点A(-1,0)和C(0,-3)，在x轴上找一点B，使△ABC为等腰三角形，这就是背景问题.易知这样的点B共有4个，且其横坐标都不为0(横坐标为0时,k无解)，因此对应的k有4个值，即满足条件的抛物线有4条.故选C.

评注该题比较有新意，能把一个大家都熟悉的问题放在一个新颖的背景下，从而能很好地考查学生的思维品质.

数学问题与题型层出不穷，要做到以“不变”应“万变”，就要把握问题的背景与结构形式，关注共性、形成知识结构(多题一解，举一反三，形成解题模块)，加深对数学问题的本质认识，提高分析解决问题的能力.

[1] 张丽娜.用分类思想探求“满足条件的点”[J].初中数学教与学，2011(3)：5-8.