轴向充磁圆筒型永磁直线电机磁场解析

黄克峰，李槐树，周羽

(海军工程大学电气工程系，湖北武汉430033)

轴向充磁圆筒型永磁直线电机分析和设计的前提是对电机内的磁场分布进行准确计算.目前旋转永磁电机内的磁场计算方法有解析公式法［1-8］、有限元数值计算法［9-11］.利用有限元法能够考虑电机在实际运行中存在的磁路饱和、齿槽效应和绕组涡流等因素的影响.解析公式法具有物理概念清晰、计算量小、快捷等优点，便于直观考察结构尺寸、材质等对电机磁场的影响，这样能够快速有效地对电机的结构进行优化设计.

对于永磁旋转电机在结构上的传统性利用解析法能够准确进行计算，但是轴向充磁圆筒型永磁直线电机是一种新的电机类型，并在结构上具有特殊性，利用解析法不能对该类电机进行有效计算，本文将采用基本气隙磁场法并利用许—克变换得出的隐函数公式进行准确计算.

1 无槽轴向充磁磁势的解析模型

1.1 基本气隙磁场的定义

基本气隙磁场定义［12］如下:在圆筒型永磁直线电机磁场分布中最小气隙δmin处的磁感应强度密度定义为1T时的气隙磁场分布，即

式中:Fδmin为最小气隙处的磁势，Bδmin为最小气隙处的磁场强度.

1.2 无槽轴向充磁磁势的解析模型

为了建立圆筒型永磁直线电机拓扑结构的磁场分布，假设:1)电机轴是无限长，因此磁场分布是轴对称并在x轴周期分布.2)电枢是无槽，铁心磁导是无穷大.

无槽轴向充磁圆筒永磁直线同步电机(tubular including interior PM linearmotor，TIPMLM)结构如图1所示.该电机的特点是采用轴向充磁的永磁体，磁体在x轴方向交替更换极性，与高磁导铁心结合，形成若干个磁极，在圆柱气隙空间产生磁场，从而产生轴向电磁推力.

永磁材料采用钕铁硼稀土材料，其去磁曲线如图2.图1中，τp为极距，h为转子侧铁心的长度，hm为永磁体充磁长度的一半.假定永磁体均匀磁化，其工作点为 P( Hm，Bm)，回复线与退磁曲线重合，回复磁导率为μ0μr.其中，Hm为永磁体工作点的磁场强度，Bm为永磁体工作点的磁通密度.

图1 无槽轴向充磁圆筒永磁直线同步电机结构示意Fig.1 The structural diagrammatic sketch of slotted TIPMLM

由图2(a)，得到

式中:Br为永磁材料的剩磁感应强度，μr为永磁材料相对磁导率，μ0为真空磁导率.

轴向充磁圆筒型永磁直线电机中的定子内表面磁势分布可以有2种:1)如果将整个电机的磁势分布认为是由极间线性变化到极面，到极面下保持不变可以得到梯形波磁势如图3(a);2)如果将极间部分认为是非线性变化，从而等效成极间漏磁可以得到的磁势分布为方波磁势如图3(b).

由图3可得出电机磁势分布的数学模型:

式中:F1、F2分别为梯形波和方波的磁势，Hm为永磁的磁化强度，hm为永磁体充磁长度的一半，τp为极距;Fm为方波磁势的峰值，x为定子内侧的位置.

图2 永磁体的退磁曲线Fig.2 The demagnetizing curve with PM

图3 无槽轴向充磁定子侧磁势分布Fig.3 The scatter with magnetic potential diagram of stator in TIPM LM

2 无槽轴向充磁气隙磁场的解析计算

2.1 磁势为梯形波分布气隙磁场计算

由于电机不开槽，气隙均匀可得

将式(5)代入式(2)得

式中:B1m为梯形波磁势的磁场强度，δ为不开槽下电机的均匀气隙.

将式(6)代入式(3)，可得出磁势为梯形分布的气隙磁场磁场强度分布:

2.2 磁势为方波的气隙磁场计算

在1.2节假设的基础上增加2个假设:1)忽略导磁材料的磁压降影响;2)永磁体漏磁部分以漏磁系数修正.

由图2(a)可得:B=Bmr，则

式中:φr为永磁体的虚拟内禀磁通，φr=BrAm;φm为永磁体的输出磁通，φm=BmAm;φmσ为永磁体的内部漏磁通，

永磁体输出磁通与外磁路磁通相等，即

式中:φ为磁路中的主磁通，φσ为外磁路漏磁通.由于外磁路结构复杂，较难准确计算φσ，为简便，本文用漏磁系数修正主磁通.即φm=σ0φ，其中σ0为漏磁系数.

因此，只要计算磁路中主磁通φ即可，φ与定子表面磁场分布有关.下面分段计算定子表面磁场强度:极间部分的磁场强度可用极间漏磁进行等效，运用许—克变换进行计算;极面部分的磁场强度，气隙均匀可以用磁势进行计算.

1)极间部分(图1中的AB段)磁场强度计算.

计算AB段磁场强度时有2种方法，即用许—克变换得到的隐函数公式和近似计算的tan公式.

隐函数公式:

式中:αp为极弧系数，为定子侧任意位置的基本气隙磁场强度.

tan 公式［12］:

2)极面部分(图1中的BC段)磁场强度计算BC段的磁场强度计算:

只要计算出电机在最小气隙处的磁场强度就可以求出整个电机的磁场分布.tan公式法、梯形波磁势法和隐函数法这3种方法计算结果如图4.隐函数法和有限元法的对比如图5，由图5可以看出:1)隐函数法和有限元法得到的结果规律是基本一致;2)2种方法得到的结果在峰值上也一致，都是1.212 T，只是在永磁体和动子铁心粘结处存在微小的差别.而从图4可看出隐函数法和其他2种方法存在较大差别，这也说明了利用隐函数法计算气隙磁场是有效的.

图5 隐函数法与有限元法结果的对比Fig.5 Comparison of the implicit function with the FEM

3 开槽轴向充磁气隙磁场的解析计算

3.1 开槽后相对气隙磁场强度

电机开槽后气隙磁场较为复杂，利用许—克变换可以很好地对这类问题进行计算(图6).把齿部气隙磁场强度值看作单位，利用许—克变换计算开槽后槽部相对齿部的相对气隙磁场强度.在计算时先假设:1)定、动子只有一面开槽，另一面光滑;2)铁心的磁导率为无穷大，其表面为等磁位面;3)槽深和槽节距都是无穷大.

图6 开槽后的电机计算示意Fig.6 The calculated diagrammatic sketch of slotted TIPM LM

按照上述假设，矩形槽在z平面和w平面的情况如图7 所示［13］.

图7 单面开槽时气隙磁场的变换Fig.7 The transform course with single slotted sided air-gap field

通过许—克变换可得到:

图8 定子侧开槽后与无槽时的相对值Fig.8 The relative value of slotted and slot

3.2 开槽后气隙磁场强度

根据2.2节计算的不开槽气隙磁场强度，可以得出开槽后的气隙磁场强度:

1)极间部分(图1中AB段):

根据定子所处的位置，利用公式:

2)极面部分(图1中BC段):

根据定子所处的位置，利用公式:

计算得到开槽后的基本气隙磁场强度如图9，从图9中可以得到:1)在气隙最小处的基本气隙磁场强度仍为1;2)在极面与槽口相对时，此处的基本气隙磁场强度不再为1，而由于开槽的影响，大小随着所对槽位置的变化而变化.

图9 定子侧开槽后的基本气隙磁场强度Fig.9 The basic air-gap field with slotted TIPM LM

4 10极9槽电机解析计算

气隙磁场的分布可以借助有限法(充分考虑磁饱和和电机的运行状况)进行验证.只要解析法计算得到的气隙磁场强度和有限元法计算的结果吻合就可以验证该方法的正确性.本文以10极9槽样机为算例进行验证分析.轴向充磁圆筒型永磁直线电机其主要结构尺寸参见表1.

表1 轴向充磁圆筒型永磁直线电机主要结构参数Table 1 The key size of TLIPM linear motor

不开槽的有限元法和隐函数法的对比如图5;开槽后的有限元法和隐函数法结果如图10、11.

图10轴向充磁圆筒型永磁直线电机开槽磁场强度云图Fig.10 The magnetic nephogram of slotted TPM LIM

图11 许—克变换解析法和有限元法计算结果对比Fig.11 The results match the Schwarz-Christ of fel with the FEM

从图11可得:1)2种方法计算结果的规律是一致的;2)隐函数法计算的气隙磁场强度的峰值为1.3 T，有限元法结果为1.28 T，两者的大小在误差范围内;3)图11中有2处位置的结果存在较大偏差，这个偏差引起的原因是在该位置槽基本上与极间部分相对，这样在电机运行中该处就存在聚磁效应，而运用隐函数法解析分析时该因素考虑不到.总体来说隐函数法和有限元法很吻合，存在的误差在工程允许范围内，也验证了本文中的隐函数法解析分析的正确性.

5 结论

本文研究结果表明所提方法具有如下特点:

1)与有限元法相比，虽存在工程允许范围内的误差，但更为快捷方便、计算量小，非常有利于电机优化设计;

2)解析法能够直观的认识电机结构参数影响电机磁场强度的规律;

3)计算精度能满足工程设计需要.

但仍然存在一些不足:该研究电机气隙磁场的解析方法只能得到x关于气隙磁场强度的函数，不能得到关于x的函数，这样将不利于研究电机结构参数对气隙磁场强度影响规律.因此很有必要对关于x的函数进行进一步研究.

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