基于相关向量机的短期风速预测模型

李慧杰，刘亚南，卫志农，李晓露，Kwok W Cheung，孙永辉，孙国强

（1.阿尔斯通电网技术中心有限公司，上海 201114；2.河海大学 可再生能源发电技术教育部工程研究中心，江苏 南京 210098；3.ALSTOM Grid Inc.，Redmond，USA Washington 98052）

0 引言

可再生能源的开发利用得到世界各国的高度重视，风力发电因具有环保可再生、全球可行、成本低且规模效益显著等优点，已经受到广泛的重视，并且发展迅速[1]。近年来，风力发电机组容量的迅速增长，对电力系统的影响也越来越明显。尽管风力发电已经成为一种较为成熟的技术，但风电场风速的预测还未达到一定的满意程度。准确预测风电场的风速有利于调度部门调整计划，从而有效减轻风电对整个电网的不利影响，减少电力系统运行成本，也有利于调度人员及时采取正确的调度措施[2]。

由于风速受诸多因素的影响，具有很强的随机性和不确定性，所以预测难度较大，尤其是进行短期风速预测[3]。文献[4] 将经典的ARMA模型用于短期风速预测，取得了较好的结果，但这种方法低阶模型不能完全反映样本的性能，高阶模型的估计较为复杂，在计算中消耗时间，在气候变化很大的情况下预测结果不甚理想。文献[5-6] 分别采用BP神经网络和径向基神经网络进行风速预测，但其算法容易陷入局部最小问题，得不到全局最优解，收敛速度也较慢。文献[7] 将支持向量机（SVM）应用到风速预测中，同时采用微分进化算法进行参数优化，相比神经网络，该方法具有更高的精度和更强的鲁棒性。文献[8] 采用空间相关性法进行短期风速预测，该方法需要考虑所测地点以及与之相近几个地点的风速时间序列，基于几个地点风速之间的空间相关性，进行风速预测。由于该方法需要大量的原始数据，在实际操作中存在一定的难度。

混沌理论最早用于气象学中，通过对风速时间序列的Lyapunov指数计算，可以证明其具有混沌特性，而且混沌时间序列在短期内可以预测。因此，利用混沌相空间重构理论可以还原风速时间序列的非线性动力特性，使用一定的预测模型可以进行短期风速预测。文献[9-10] 已经将相空间重构用于风力发电功率预测中。本文通过相空间重构的方法建立相关向量机（RVM）短期风速预测模型，同时采用高斯核函数和多项式函数的组合作为RVM的核函数，以此来提高预测精度。算例结果表明，RVM模型较之现有的风速预测模型具有更高的精度。

1 相空间重构理论

根据Takens的嵌入定理[11]，对于一个时间序列，延迟坐标的维数m≥2d+1（d是动力系统的维数），在该嵌入维空间里可以把有规律的轨道（吸引子）恢复出来，即重构的空间中的轨道与原吸引子的拓扑结构完全相同。对于一组时间序列｛xi｝，则相空间重构为：

其中，m为嵌入维数，τ为延迟时间，Q=n-（m-1）τ为相空间中的相点个数，i=1，2，…，Q。

在重构过程中，嵌入维数和延迟时间选取至关重要，恰当选择2个参数将直接影响相空间重构的质量，从而影响预测精度。

1.1 互信息求取延迟时间

利用计算互信息函数的第一极小值来确定最佳延迟时间 τ 的方法称为互信息法。

对于2组信号｛x（i），y（j）｝（i，j=1，2，…，Q）给定x（i）的一个测量值，预测 y（j）的平均信息量为互信息函数：

其中，Px[x（i）] 为 x（i）的概率密度，Py[y（j）] 为 y（j）的概率密度，Pxy[x（i），y（j）] 为联合概率；H（x）为信号｛x（i）｝的熵，表示对指定系统的N个x（i）测量得到的平均信息量，H（y）的定义与 H（x）类似，H（x，y）为联合熵。本文采用等间距划分网格方法计算互信息。

针对本文选取的时间序列，利用互信息法得到该序列互信息函数与延迟时间的关系如图1所示，从图中看出，延迟时间取10。

图1 互信息函数与延迟时间关系Fig.1 Relationship between mutual information function and time delay

1.2 Cao算法求嵌入维数

目前相空间重构嵌入维数的求取广泛采用Cao算法。对于混沌时间序列 x1，x2，…，xn，若嵌入维数为m，延迟时间为τ，则重构的相空间如式（1）所示。定义：

其中，E（m）为所有 a（i，m）的均值，Ym+1（n（i，m））为Ym+1（i）的最邻近的点，Ym（n（i，m））为 Ym（i）的最邻近的点。

当嵌入维数m大于某个值时，E1（m）不再变化，这时m就是饱和嵌入维数。针对本文选取的时间序列，利用 Cao 算法得到 E1（m）、E2（m）与嵌入维数 m的关系如图2所示。从图中可以看出，嵌入维数m增加到7时，E1（m）趋于稳定，所以嵌入维数取8。

图2 E1（m）、E2（m）与嵌入维数 m 的关系Fig.2 Relationship between E1（m）／E2（m）and embedding dimension m

1.3 时间序列的最大Lyapunov指数

对于一个混沌系统，至少存在一个正的Lyapunov指数，它反映了轨道从初始条件附件开始发散的速度。因此，可以通过估计最大Lyapunov指数，来判断系统的混沌属性。本文采用Wolf法[12]估计最大Lyapunov指数。

步骤1 设初始时刻为t0，当前时刻为t1，终点时刻为tM，M=P-（m+1）τ，P为时间序列终点。

步骤2 设初始点为 Y（t0），其与最近邻点 Y0（t0）的距离为L0，经过一定时间的演化到达2个新的点Y（t1）和 Y0（t1），此时间距超过一个预先给定的阈值ξ（ξ＞0），即。

步骤3 保留 Y（t1），同时在 Y（t1）邻近另找一个点 Y1（t1），使得并且与之夹角尽可能小。

步骤4 继续步骤3，直到到达时间序列的终点M，追踪演化过程的迭代次数为tM-t0，则最大Lyapunov指数λ1为：

根据前述分析，取m=8、τ=10，这时最大Lyapunov指数大于0，其值为λ1=0.2851。由此看出，风速时间序列具有混沌特性。

2 RVM原理

RVM[13-14]是在SVM的基础上，基于贝叶斯学习理论提出的算法模型。与SVM相比，RVM有如下优点：相关向量的数目远远小于支持向量，具有高稀疏性；仅有核参数的设置，可以节约训练时间；核函数无需满足Mercer条件，增加了核函数选择的灵活性。

对于给定的训练样本输入集｛xn｝Nn=1和对应的输出集｛ln｝Nn=1，RVM 回归模型[15-17]可定义为：

其中，ε 为服从 N（0，σ2）分布的各独立样本误差，wi为权系数，K（x，xi）为核函数，N 为样本数量。

对于相互独立的输出集，整个样本的似然函数为：

其中，l=（l1，l2，…，lN），w=[w0，w1，…，wN]T，Φ=[φ（x1），φ（x2），…，φ（xN）]T，φ（xN）=[1，K（x1，xN），K（x2，xN），…，K（xn，xN））]T，y（xi；w）为预测值。

根据概率预测公式，所求的条件概率为：

其中，l*为目标值。

为了避免直接使用最大似然方法求解w和σ2而带来的过适应现象，对w加上先决条件。根据贝叶斯理论，w为分布为零的标准正态分布，同时引入超参数 α=[α0，α1，…，αN]T，可得：

因此，概率预测式改为：

RVM的一个重要特征就是对每个权值限定先决条件。α为权值w对应的超参数，符合伽马分布。经过足够的更新次数后，大部分αi会趋近无限大，其对应的权值趋于0，而其他的αi会稳定地趋近有限值。而与之对应的xi称之为相关向量，实现RVM稀疏特性。

在定义了先验概率分布及似然分布以后，根据贝叶斯原理，就可以求得所有未知参数的后验概率分布为：

其中，ψ＝（σ－2ΦTΦ＋A）－1，μ＝σ－2ψΦTl，A=diag（α0，α1，…，αN）。

最后使用最大似然方法可以得到估计的超参数α和方差σ2。

若给定新的输入值x*，则相应的输出概率分布服从高斯分布，其相应的预测值为 y*=μTφ（x*）。

3 风速预测的RVM预测模型

3.1 样本数据的预处理

为了加快样本的训练速度和收敛速度，需要对原始样本进行预处理，从而提高模型的预测精度。本文主要采用归一化方法对样本数据进行处理：

3.2 RVM模型参数的选取

RVM是基于核函数方法的模式识别技术，本质上讲，核方法实现了数据空间、特征空间和类别空间之间的非线性变换。混合核函数的基本思想[18]是将多个不同的核函数结合起来，使得组合后的核函数具有更好的特性。

高斯核函数在众多核函数中表现出了优异的特性，本文选择多项式核函数进行线性组合得到的函数作为RVM模型的核函数。为了方便起见，选择如下二项式函数：

其中，G（xi，xj）为高斯核函数；P（xi，xj）为二项式核；λ为核函数权重，0≤λ≤1，λ=0或λ=1时分别为单一核函数。

在基于核函数的模式识别技术中，核参数的选择对结果起着至关重要的作用。RVM预测模型中超参数α可以通过训练自适应得到最优值，核函数宽度σ和权重λ的选取采用网格搜索法来获得。

3.3 预测模型的评价标准

预测模型的预测效果采用平均绝对百分比误差评价，其表达式为：

3.4 风速预测模型流程图

风速预测流程如图3所示。

图3 风速预测流程图Fig.3 Flowchart of wind speed forecasting

4 算例分析

本文采用某风电场前15天的1440个实测风速值作为训练样本，数据采样间隔为15 min，建立RVM风速预测模型，对第16天的96个采样点的风速值做提前1点（即15 min）的预测。建立模型前对数据进行预处理，选取合理的参数。本文嵌入维数取8，延迟时间取10。

本文分别选择了Sigmoid函数、线性函数、二次项函数、RBF函数及其组合函数作为核函数，比较预测结果如表1所示。

表1 不同核函数的预测结果Tab.1 Forecasts by different kernel functions

由表1可以看出，不同的核函数对应的eMAPE的差别很大，对于单一核函数，二项式函数的eMAPE=2.62%，RBF核函数的eMAPE=2.65%，这2种核函数的误差远小于其余的单一核函数。本文所采用的RBF核函数与二项式函数的组合核函数的eMAPE=2.58%，预测效果优于RBF核函数和其他的组合核函数。

将RVM模型与时间序列模型、BP神经网络模型、SVM模型的预测结果分别进行比较，这些模型在数据处理上基本相同，得到的提前15 min的预测结果如表2所示（由于篇幅有限，只列出部分数据）。

表2 不同预测模型的预测结果Tab.2 Forecasts by different forecasting models

时间序列模型预测结果的eMAPE=5.21%，BP神经网络模型预测结果的eMAPE=5.18%，SVM模型预测结果的eMAPE=3.22%，RVM模型预测结果的eMAPE=2.58%。由不同模型得到的eMAPE可以看出，RVM模型在风速预测中精度比其他模型高。RVM模型计算的结果比较稳定，比BP神经网络模型性能优越，BP神经网络方法不能得到全局最优解，因为其采用梯度下降法优化权值，而这一优化过程只能保证收敛到其中一个点。SVM模型性能也很好，也可以得到全局最优解，其收敛时间为550.98 s，但是RVM模型具有更高的稀疏性，能较快收敛，其收敛时间为345.53 s，从而验证了RVM理论在风速预测中的可行性，具有一定的使用价值。

5 结论

本文对风速时间序列建立了非线性动力学系统模型，通过估计嵌入维数、延迟时间以及最大Lyapunov指数检验了该系统的混沌特性。在此基础上，借助RVM方法，对风速进行了短期预测。该方法克服了神经网络训练时间长、泛化能力差、易陷入局部极小等缺点，具有较强的小样本学习和泛化能力。同时通过对不同的核函数进行分析组合，选择出了RBF核函数与二项式函数的组合核函数作为RVM模型的核函数。与SVM相比，该方法稀疏性更高，核函数选择更加灵活，同时组合核函数的使用提高了预测的精度。作为一种新型的稀疏性学习方法，RVM可以同时输出预测值和预测值方差，非常适用于有实时性要求的工程预测估计。