JADE算法在星系团图像盲源分离中的应用

肖心想， 雷敏

（上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240）

0 引言

星系团是宇宙中确知的具有动力学束缚特征的最大结构，是宇宙大尺度结构的物质系统体现，也是星系演变过程的重要场所。作为宇宙中具有独特地位的星系团，它们是联系天文观测与宇宙学理论研究的纽带，是检验宇宙学甚至物理学重大问题的太空实验室。对星系团的研究不仅能揭示星系团整体以及星系团内部成员的天体物理性质，而且对宇宙中大尺度结构体的研究都有着重要的意义。

目前对星系团的分离主要是基于星系团自身的物理特性，比如光学特性，密度和光度，X射线，几何空间分布等性质对星系团进行提取。但是在提取过程中仍然很难消除或消弱银河系和河外离散源的强干扰，从而影响后续的星系团中星系以及星系团内部结构的研究。为此，从图像处理的角度出发，利用扩展联合对角化（the joint approximative diagonalization of eigenmatrix，JADE）［1］分离方法对模拟的天空图像进行提取星系团的研究。JADE分离方法是利用观测信号的四阶累积量矩阵，通过对累积量矩阵的同时对角化来估计出分离矩阵，从而达到盲源分离的效果。该方法不需要进行任何的梯度计算，数值稳定性良好，并且有非线性混合分离的效果，目前在语音信号［2］，DOA 估计［3］，振动信号［4］，胎儿心电图［5］，雷达信号［6］，脑电图［7-9］，图像水印［10］方面都有着广泛的应用。

1 JADE

1.1 JADE 方法介绍

JADE方法是利用观测信号的四阶累积量矩阵，通过对一组累积量矩阵的同时对角化来估计分离矩阵。四维累积量矩阵定义如下［11］:

令z为球化后的N通道观察量z=［z1，z2，…，zN］T，M为任意N×N矩阵，z的四维累积量矩阵Qz（M）的定义如下:它的第ij元素［Qz（M）］ij为

式（1）中，Kijkl（z）是z中第i，j，k，l四个分量的四维累积量。Qz（M）也是N×N矩阵;mkl是矩阵M的第k，l元素。

针对实际观测数据，这里假设［12］:

1）其相应的源信号具有零均值，而且源信号相互不相关;2）至多只有一个信号为高斯信号;3）实际数据中所存在的干扰信号即加性噪声信号均值为零，且独立于源信号。

1.2 JADE 算法

对于观测数据x，有混合矩阵A使得

其中:假设S为源信号，方差为1。这里A是列满秩的，但是由于先验条件未知，所以并不知道混合矩阵的具体表达式。为此，JADE算法首先对观测数据x进行球化

即使得球化后的z中各行互相正交，各行的能量相等且等于1，有时也称球化为白化。

W为球化阵，可由x的协方差阵的SVD分解获得。将式（2）代入式（3）中，有:

这里V可以根据式（1）有z的四维累计矩阵构成。其中M阵根据要求选取为一组对称/反对称的基矩阵。则N×N个基矩阵记作Mpq（p=1，2，…，N;q=1，2，…，N），并按下式定义:

式（5）中ep是除了位置为p处等于1外，其余位置都等于0的N×1单位矢量。这种取法的好处一是既满足要求而且简单，二是可以大大减少计算量。

因此，根据以上M矩阵的选取，JADE算法的步骤可以归纳如下:

1）球化;

2）选取M矩阵;

3）通过优化步骤求得矩阵V，使得各Qz（Mi）联合对角化;

4）A=WTV，=A－1=VTW，y=Bx=VTWx，y即为分离的结果。

2 星系团的分离试验和结果

文中所使用的包含星系团成分的观测图是根据Wang et al.2010［13］论文中所提到的模拟方式获得的，其中模拟的观测图的频率是105 MHz。在宇宙观测中前景主要有银河系自由－自由辐射、银河系同步辐射、离散源I和离散源II，如图1图4所示。离散源I是GHz Peaked Spectrum（GPS）源，离散源II包含有 Normal Galaxies，Starburst Galaxies，FRI，FRII以及 Radio－ quiet类型源，图 5 是模拟的星系团成分。图6是图1至图5混合后的105 MHz频率下的观测图，可以看出，很难从该图中直接区分出星系团成分，星系团信息已被前景信息完全掩盖。

利用JADE方法对混合后的观测图进行分离处理，结果如图7所示，可以看出它在很大程度上去除了前景干扰。通过与图5对比，可以看出分离提取的星系团能够很好地反映出原始的星系团。为了进一步判别JADE方法的有效性，在本文中又分别利用了FastICA、基于累计量的独立分量分析改进方法和基于最大信噪比盲源分离方法等三种盲源分离方法对上述原始观测图（即图6）进行分离处理，结果如图8图10所示。可以看出JADE方法的结果与FastICA方法和基于累计量方法的分离结果比较好（见图8和图9），并且明显优于基于最大信噪比盲源分离方法（见图10）。基于星系团的光谱分析，文献［13］中指出对65 MHz频率的模拟星系团，FASTICA方法的分离效果在70%以上，文中提到的JADE方法对105 MHz频率的模拟星系团分离效果为26/35⋍74%，因此研究结果表明JADE方法是可行的。

图10 基于最大信噪比分离后的星系团

3 结语

利用JADE方法对星系团前景观测图进行了分离研究，从分离出的结果分析，JADE方法是可以有效地提取星系团信息，通过与其他三种分离方法的进行对比，研究结果表明JADE方法能有效地消弱前景信号的干扰，对星系团的分离提取是适用的。

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