基于最大似然频率精细估计的载波捕获算法

王 乐 ,王竹刚,熊蔚明

(1.中国科学院 空间科学与应用研究中心,北京 100190;2.中国科学院 研究生院,北京100190)

1 引 言

由于深空通信距离远,信号到达接收端时已十分微弱,对通信系统的捕获是一个巨大的挑战,且深空通信的信号具有多普勒动态范围大、变化率高等特点,更是增大了捕获的难度。随着数字中频接收机硬件处理能力的提高,星上设备可以主动捕获载波。目前主动捕获方式有两种:一种通过锁频环,将频率牵引至锁相环的捕获带宽内;另一种是通过FFT估计频率,并导入锁相环完成捕获。在深空环境下,信噪比较低,FFT本身是频率的最大似然估计的离散实现形式[1],具有最佳的抗噪性能。文献[2]中,NASA利用FFT加上自适应滤波,已经应用于实际的火星任务中。

FFT存在频率估计值离散、截断频谱泄露等问题,影响了估计的精度,使得频率的精细估计成为了频率估计算法研究的重要领域。文献[3-4]对目前较为常见的基于FFT频率精细估计算法进行了介绍和比较。根据精确估计所利用的信息,笔者将这些算法可分为两大类:一类是利用FFT输出的幅度信息,另一类是利用FFT输出的实部信息。Rife-Jane方法[5]利用幅度最大谱线以及其两边的谱线估计频率,该方法的特点是插值算法简单,易于实现,但在有噪声情况下由于两边谱线的错误,将会使得噪声频率插值方向相反,引起较大的频率估计误差。Grandke方法[6]在Rife-Jane方法基础上增加Hanning窗,使主瓣变宽,主瓣出现多条谱线,使得位于最大值两侧的谱线更易区分,更好地克服了插值方向错误的问题,极大地提高了估计精度。Voglewede方法的基本思想是利用FFT输出的峰值以及相邻的两个频点的幅值,拟合出一条二次曲线逼近原插值函数,然后通过求二次函数即抛物线的最大值求解精确频率。文献[7]给出了Vogelede方法的原理,并以方形窗函数和升余弦的带限信号作为验证。由于算法本身是通过曲线的二次曲线拟合,估计误差较大,在有噪声的情况下估计精度不高。三线幅度法[8]利用FFT最大输出谱线两边的谱线幅度进行频偏估计,具有较高的抗噪性能,在无噪情况下对频偏达到无偏的拟合效果,算法结构简单,实现简便。需要注意的是,当无频偏时,即FFT的粗估计输出恰好为实际估计频率时,两条边频的值较小,受噪声影响较大,导致估计性能下降。以上几种方法均属于第一类。Quinn方法是利用FFT输出的次大频点和最大频点复数值之比进行频率插值的方法[9]。Jacobsen方法和Voglewede方法结构上相似,都是搜索幅度最大值和相邻的两个频点。Jacobsen方法利用的是3个频点复输出的实部进行频偏的插值估计。文献[10]通过对FFT的输出表达式做泰勒级数展开,给出了Jacobsen方法的理论依据,并对原方法进行了误差校正。Jacobsen对原方法也进行了深入的研究,通过仿真分析了不同窗函数下的Jacobsen方法的性能表现,归纳出了各种窗函数下对估计算法的系数修正,进一步提高了估计的精度。Quinn方法和Jacobsen方法均属于第二类,第二类方法抗噪性能都要优于第一类。

本文在现有的FFT载波捕获基础上,通过FFT峰值输出的瞬时相位表达式,推导了频率精确估计的最大似然算法,并提出了可行的实现结构。在突发数据通信模式下,精确的频率估计结果可以直接用于后续解调电路,以达到快速捕获的目的[8]。

2 FFT频偏δ的最大似然估计

对于正弦波信号s(n)=Acos(wn+φ),其频率w和φ的估计是非线性估计。考虑在加性白噪声信道中,两个参数的最大似然估计分别为[1]

其中:

由上式可以看出,相位的最大似然估计值恰好是离散傅里叶变换的相位值。

对于残留载波信号和数据辅助下的抑制载波信号,其捕获的对象都可以等效为单音信号,其解析表达式为

式中,A为信号幅度,wd为载波多普勒频偏,φ为初始相位,q(n)为复加性高斯白噪声序列。不考虑噪声项,对采样到的2N的信号做N点FFT,得到两组结果X1(k)和 X2(k),其表达式为

其中,

由式(2)可得

所以

利用FFT对实际频率估计是带有估计误差 δ,所以

其中,k0是最大谱线的频点。

代回式(9)得

可得

从算法的表达式可以看出,FFT输出的最大谱线的相位包含 δ的信息。根据最大似然估计泛函不变性,若 θ是θ的最大似然估计,那么 α=g(θ)的最大似然估计是=g( θ)[11]。由此可得,式(11)是δ的最大似然估计。

FFT输出实部和虚部的概率分布均满足高斯分布,两者的和差及比值仍属于对称分布。FFT的幅度值由于进行了平方运算,其平方的分布是非中心的χ2分布,属于非对称分布。在低信噪比下,一次FFT的输出结果往往不能直接作为频率估计的结果,而是要进行一定量的非相关累积。对于对称分布,多次累积的结果不会改变其期望,而且随着累积次数的增加其方差呈平方次衰减。对于非对称分布,期望值与多次累积的次数相关,从而使得累积后的结果出现偏差,同时方差也无改善。本文算法的估计量为对称分布,通过多次累积,能够进一步提高估计精度。

3 最大似然算法模型

算法主要由两部分组成,首先是利用有限点数的FFT对频率的粗估计,然后是频率的精细估计。整个频率估计算法的实现结构如图1所示。

图1 最大似然算法模型Fig.1 Block diagram of the proposed algorithm

经过FFT获得最大频点值的复输出。上采样主要用于解决当实际的 δ靠近0.5时,在有噪声时其相位渐变性差的问题。角度解算利用反正切函数实现,其输出的波形在无噪声下是锯齿波,相位差的输出在锯齿波跳变沿处出现冲激,使得估计值偏离了实际值,如图2所示。

图2 相位及相位差输出波形Fig.2 Waveforms comparison between phase and phase difference

相位卷绕保证了角度分布在[-π,π],相位卷绕方法如下式所示:

积分清洗使得输出估计值平滑,并保证了FFT原有的输出带宽。

4 算法性能比较

仿真中采用FFT点数 N为1024,累加数据L为16。文献[3-4]利用仿真证明了性能最优的估计算法Jacobsen算法。在文献[8]中的三线法也具有较高的精度。下面用本文的方法和Jacobsen方法以及三线法进行比较。理论性能下界为[12]

本文算法与三线法、Jacobsen方法的估计性能比较如图3所示。

图3 本文算法与三线法、Jacobsen方法性能比较Fig.3 Performance comparison between three-line algorithm,Jacobsen algorithm and the proposed algorithm

由图3可以看出,本文算法在性能上有较好的表现,在相同的信噪比下,优于三线幅度法和Jacobsen方法,接近理论CRB。同时,三线幅度法所利用的边谱线在频偏为0时幅值较小,所以受噪声的影响较大,在各信噪比下,估计误差也较大。

在极低信噪比下,算法性能随着数据累加数的提高变化曲线由图4所示。

图4 本文算法随数据长度增加性能变化曲线Fig.4 Performance versus length of data

由图4可以看出,本文随着数据累加长度的增加,估计精度有所改善,这也是对结果进行非相关累加的结果。在信噪比为-25 dB的情况下,增加非相关累加长度不能达到有效抑制噪声的效果。

利用Matlab中的System Generator工具搭建本算法的硬件仿真模型,其中使用Cordic模块实现相角计算。Cordic算法模块在实现arctan函数的运算时,迭代次数i决定了Cordic算法对arctan函数的逼近程度,i的值越大,相应逼近程度越高。图5给出了不同迭代次数下的算法实现与理论模型下的算法性能比较。

图5 算法硬件实现与浮点仿真模型的性能比较Fig.5 Performance comparison between fixed-point implemenation model and float-point model(approximately ideal)

从图5可以看出,算法在迭代次数 i为8时,性能与浮点精度仿真模型已经非常接近。随着迭代次数的下降,性能也随之下降。应根据不同应用背景和硬件平台的状况,选择合适的迭代次数。

5 结束语

基于FFT的频率估计算法是经典的估计课题,在克服FFT截断所引起的泄露及离散估计值的精细估计算法也有诸多的研究方向。本文在查阅了基于FFT频率精确估计算法相关文献的基础上,分析了影响估计性能的两个设计方面。首先,对于频偏估计尚未给出最大似然估计表达式,即各类算法的设计并未以最大似然估计的求解为出发点;其次,估计算法的分布为对称分布时的抗噪性能要优于非对称分布。鉴于以上两个方面,作者通过相位信息的最大似然估计表达式,推导出频偏估计值,且估计结果为对称分布。仿真结果证明,在高信噪比和低信噪比下均有良好的性能。

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