超声滚压装置中变幅器的仿真设计

张 旭 李新和 何霞辉

(中南大学机电工程学院，湖南长沙 410083)

随着科学技术的进步，许多产品对零件表面质量的要求越来越高。为提高零件的表面质量，在表面光整技术方面出现了许多新工艺、新技术。由于功率超声对金属塑性加工具有表面效应和体积效应，能使工件表面粗糙峰软化和熔化，具有改善加工工具与工件的表面接触状态的效果。随着超声加工技术的发展，将超声频振动引入到滚压加工工艺中，进行表面光整加工，已成为表面光整加工的新技术。

超声滚压加工是在滚轮上施加功率超声振动，滚轮将压力和超声冲击振动传递给加工中的工件表面，在超声冲击和静压力联合作用下，对工件表面进行高速撞击，使工件表面产生均匀的塑性变形，从而获得较高的表面质量。与常规滚压加工相比，超声滚压能够减小滚压载荷，大大减小表面粗糙度值，从而提高滚压加工效果和生产效率。因此，超声滚压加工对于工件的精加工和超精加工具有重要意义。

超声滚压装置主要是由超声电源、换能器、变幅杆、滚轮组成。其中超声电源提供超声频的电信号，换能器将高频电能转换为机械振动，通过变幅杆将纵向振动传至滚轮中心并放大振幅，在滚轮中心位置激发滚轮的超声频的弯曲振动，振动在滚轮边缘达到最大。在变幅杆的节点处安装轴承，通过轴承将变幅杆固定在夹具上，夹具固定在滚压机工作台上，实现对工件的超声滚压加工。在超声滚压装置设计中，变幅杆和滚轮组成的变幅器的设计是一项关键的技术，变幅器设计的好坏起着至关重要的作用。

对于超声滚压装置中的变幅器设计，可以采用变幅杆与滚轮的组装设计和整体设计。由于滚轮属于加工工具，按照传统的设计方法，只要将变幅杆和滚轮分别设计为相同的共振频率，经过调整后将两者组装在一起后，系统还会在设计频率上发生共振。而整体设计是将滚轮看作大横截面杆，滚轮为大横截面杆的弯曲振动。为了较好地设计滚轮与变幅杆组成的变幅器，采用组装设计和整体设计两种设计方法，建立振动微分方程，求出频率方程，用数值方法得出了变幅器设计参数的理论解，并用有限元法对设计的变幅器进行分析，对两种设计方法进行对比，说明整体设计的变幅器较好。

1 两种变幅器的设计

根据超声滚压加工工艺要求，超声滚压装置的工作频率为20 kHz。采用阶梯形变幅杆，滚轮为圆盘状，如图1所示。为减少超声能量在界面损耗，取变幅杆和滚轮的材料相同，为Cr12MoV，主要参数为:弹性模量E=206 GPa;泊松比μ=0.3;质量密度ρ=7 700 kg/m3。综合考虑，取端面直径分别为20 mm和15 mm。根据加工工艺要求，滚轮的半径为30 mm。其中变幅杆为纵向振动，滚轮为弯曲振动。

1.1 变幅器的传统设计

在超声滚压加工中，阶梯型变幅杆是由两段不同截面积的均匀杆组成，其均匀截面杆的波动方程为:

两段截面杆中的质点位移为:

则质点位移为:

令ξa=0，则得变幅杆位移节点x0=λ/4－a，其频率方程为:

选用71804C轴承，考虑轴承宽度为7 mm，解得节点x0=3.5 mm，a=61.15 mm，b=62.68 mm，放大倍数Mp=1.77。

为了验证频率方程求解的精度，运用有限元软件Marc对变幅杆的设计结果进行分析，其材料常数及结构尺寸与实际设计计算完全相同。单元类型为八节点六面体单元，采用映射法生成网格，利用Lanczos方法对变幅杆进行模态分析，其振型如图2所示。变幅杆的纵向振动频率为20 620 kHz，放大倍数为1.75，与理论计算相近。分析结果如图3所示。

为了实现变幅器共振，使其共振频率为20 kHz，不断调整变幅杆的参数，增加变幅杆小端长度，通过仿真计算，当变幅杆的参数为:a=61.15 mm，b=65.76 mm时满足要求。

在设计超声滚压装置过程中，以Mindlin理论为基础，将滚轮看作圆形薄板振动，设在振动过程中其上任一点位移为ω，其振动微分方程为:

则圆盘上质点振动函数为:

弯曲圆盘振动时，边缘自由，其边界条件为:

求得弯曲圆盘的振动频率为:

运用MATLAB解得滚轮的宽度为 h=8.025 8 mm。为了验证滚轮的求解精度，取滚轮的材料参数及结构尺寸同实际设计计算完全相同，用有限元软件Marc分析，测得滚轮的谐振频率为18.74 kHz，与固有频率20 kHz相差较大，如图4所示。为了满足共振要求发现不断调整滚轮的参数，增大滚轮的厚度，可使其达到共振频率20 kHz，此时滚轮的厚度h=8.886 mm。经有限元分析，其模态如图5所示。

将调整参数后的变幅杆和滚轮组装在一起，运用有限元软件Marc进行模态分析，如图6所示，其共振频率为20.74 kHz，此时变幅器的长度为135.796 mm。纵向振动的变幅杆与弯曲振动的滚轮耦合后频率发生了偏移。对组装的变幅器进行谐响应分析，分析结果如图7、图8所示。在变幅杆左端施加0.005 mm的振幅，发现滚轮边缘的纵向振动的最大振幅达到0.008 84 mm，弯曲振动振幅到达0.009 52 mm，此时放大倍数为1.9，可见滚轮具有放大振幅的作用。

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1.2 变幅器的整体设计

前面讨论变幅器中的变幅杆是在端面自由时的情况下进行的，没有考虑滚轮作为负载对变幅杆共振频率及振幅分布的影响。在超声滚压装置中，滚轮连接到变幅杆的末端对工件进行加工，由于滚轮尺寸及质量大，所以它对变幅杆是有一定的抗性负载。它对变幅杆的共振频率有一定的影响，对放大系数也有一定的影响。另一方面，在滚压加工中，滚轮的尺寸对加工有一定的影响，滚轮的宽度是不能被任意调整的。因此传统的设计方法不能适用这种情况。所以根据滚轮与变幅杆在连接面的耦合关系及各自的动力学方程，建立变幅杆和滚轮整体设计的模型。

在超声滚压装置中，滚轮对变幅杆的影响是不可忽略的。由于滚轮可看作盘状形工件，在这种情况下，可将滚轮看作变幅杆的一部分，只是截面尺寸较大，因此可将变幅杆和滚轮整体设计为大横截面变幅杆。

加工过程中，滚轮的外圆为自由端面，所以它的边界条件为:

当r=D3/2时，弯矩为根据超声滚压工艺要求，滚轮输出端的振幅为:

变幅杆与滚轮交界部分的边界条件:当L=b，r=D2/2时，变幅杆位移等于滚轮的位移为

变幅杆的位移导数等于滚轮的位移导数，即

整理以上各式，化简得:

通过 MATLAB 计算得:A0= －26.467×10－6，B0=2.666 ×10－6，取b=60 mm，Ab= －44.559 ×10－6，Bb=－14.877 ×10－6。

根据变幅杆的轴径，选用71804C角接触球轴承，考虑轴承宽度为7 mm，且轴承安装在节点处，可得:

解得:Aa= －44.559 ×10－6，Ba= －522.712 ×10－6，a= －56.458 mm。

则各质点的振动位移为:

将整体设计的变幅器，运用有限元软件Marc进行模态分析如图9所示，其共振频率为20.76 kHz，与传统设计变幅器的谐振频率几乎相等，其长度为 124.458 mm，比传统设计的变幅器尺寸较小。另外，滚轮尺寸及质量也较小，有利于减小变幅器的阻抗负载，更有利于超声系统谐振。对整体设计的变幅器进行谐响应分析，分析结果如图10、图11所示，在变幅杆左端施加0.005 mm的振幅，发现滚轮为弯曲振动，滚轮边缘的纵向振动的最大振幅达到0.008 27 mm，弯曲振动振幅到达0.008 87 mm，此时放大倍数为1.774，滚轮的放大振幅的作用不是很明显。这是因为整体设计考虑了滚轮作为负载的存在，变幅比发生了变化，而且是变小的。虽然空载时的变幅比很大，但此时的输入阻抗也很大，使之不能与换能器匹配，因而是不适用的。而有负载时，输入阻抗为有限值，说明变幅比与阻抗有关系。有负载时，变幅比比空载时的小。在此基础上设计的变幅器，进行动力学分析，验证了设计理论完全可行，把变幅杆和负载一起考虑是减小设计误差的好方法。

2 实验研究

为了验证整体设计的变幅器可行性，采用阻抗分析仪对整体设计的变幅器进行测试。设备参数为:阻抗精度:±0.08%;频率范围为:40 Hz～110 MHz;阻抗测量范围为:3～5 mΩ。测试结果如图12所示。通过测试发现:整体设计变幅器的谐振频率与设计频率误差较小，阻抗较小，作为负载对超声系统的共振效果影响较小。说明整体设计变幅器的理论正确，且设计的变幅器可满足实际要求。

3 结语

(1)运用解析法，求出两种变幅器的较精确的解析解，发现组装变幅器的变幅杆较长，刚性差，整体设计的超声滚压变幅器尺寸较小，整体结构紧凑，具有较好的稳定性。经有限元仿真分析，整体设计的变幅器可满足所需要求。

(2)通过仿真发现，超声滚压变幅器中的滚轮为弯曲振动，且滚轮具有放大振幅的作用。由于考虑滚轮作为负载对变幅杆的影响，整体设计的变幅器的放大倍数比组装设计的变幅器稍小。

(3)组装设计的超声滚压变幅器没有考虑滚轮作为负载的影响，由于滚轮的质量较大，且谐振频率与超声振动系统的谐振频率不一致，为非谐振负载，导致耦合后系统的频率发生偏移，未能达到良好的谐振效果，超出系统电源允许范围，导致过载。而整体设计考虑滚轮作为负载对变幅杆的影响，且整体设计的变幅器中滚轮厚宽度尺寸及质量比较小，有利于减小变幅器的阻抗负载，更有利于超声系统谐振，保证了超声振动频率一致性。

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