曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质*

邢家省，王拥军

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质*

邢家省，王拥军

(北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

考虑曲面上法曲率最值和最值切方向的直接求法问题，给出了直接的导出方法，得到最值和最值切向量的特征值、特征向量的性质和2最值切向量的正交共轭性质.

法曲率的最值;最值切方向;特征值;特征向量;共轭正交方向;法曲率的欧拉公式

对曲面上法曲率最值的研究，一般是通过曲面上的正交和共扼的2切方向［1］或考察Weingarten变换的特征值和特征向量［2-3］，再运用法曲率的欧拉公式证明法曲率的最大值和最小值的存在性及求法，进而引入高斯曲率和平均曲率及其计算公式［1-3］.

在文献［4-8］相关内容的基础上，笔者对法曲率的最值和最值切向量问题给出直接的求法，并由此出发给出2最值切向量的正交性和共轭性，给出最值和最值切向量的特征值、特征向量的性质.

1 法曲率的最值和最值方向的直接求法

在曲面Σ:r=r(u，v)上一点P处，沿切方向(d)=du:dv上的法曲率kn为［1－3］

设n是曲面Σ在P点的法向量，采用文献［1－6］中的常用记号.考虑法曲率kn的最大值、最小值的直接求法问题.

这样一来，关于法曲率的最值问题转化为求二次分式的最值问题.

将(2)式化为一元二次方程Lλ2+2Mλ+N－kn(Eλ2+2Fλ+G)=0，即(L－knE)λ2+2(M－knF)λ+N－knG=0，它关于λ的一元二次方程有实根，当且仅当

设k1，k2(k1≤k2)是一元二次方程的2个根，由二次函数的理论，则有不等式(3)的解集为k1≤kn≤k2.

根据一元二次方程的韦达定理，可得到高斯曲率和平均曲率的计算公式.

方程(4)式的判别式为

故当且仅当NE－LG=ME－LF=0时，判别式为0，即

曲面上满足(5)式的点称为脐点，否则称为非脐点.

在一个非脐点处，判别式Δ＞0，方程(4)总有2个不相等的实根，曲面在这一点总有2个不相等的法曲率，且分别是法曲率的最大值和最小值.

在脐点，若令L=cE，M=cF，N=cG，则任意方向的法曲率kn=c(常数)，而方程(4)变为(kn－c)2=0，但这个关系无非表示任意方向的法曲率相等.

2 法曲率最值和最值方向的直接求法及最值方向的正交和共轭性

利用k1，k2(k1≤k2)是方程(4)的2个根，给出其为法曲率的最值的另一种直接方法［4］.

由于

因此可知:若L－k1E≥0，则有kn(du，dv)≥k1，若L－k1E＜0，则有kn(du，dv)≤k1;同理，若L－k2E＞0，则有kn(du，dv)≥k2，若L－k2E≤0，则有kn(du，dv)≤k2，而k1≤k2.从而，有k1≤kn(du，dv)≤k2.

.进而，在非脐点处，有

在非脐点处，(8)式的解给出曲面上的2族曲线，曲线上的切方向使法曲率达到最值.

这正是曲面上2方向du∶dv(dr=rudu+rvdv)和δu∶δv(δr=ruδu+rvδv)正交的充要条件dr·δr=0.

这正是曲面上2个方向du∶dv(dr=rudu+rvdv)和δu∶δv(δr=ruδu+rvδv)在曲面上共轭的充要条件dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv.

于是，在非脐点处，由方程(8)的2个根所确定的切方向du∶dv和δu∶δv是互相正交和共轭的.

反过来，由2切方向的正交和共轭条件，也可以推导出方程(8)［1，7］.

综上所述，得到如下结果:

定理2在曲面上的非脐点处，曲面上存在2个切方向使得法曲率分别取到最大值和最小值，并且这2个切方向必是曲面上正交且共轭的2切方向.法曲率的最值和最值方向分别由方程(4)和(8)的根所确定.

在曲面上的脐点处，曲面上各切方向的法曲率相等，曲面上正交的2切方向也是曲面上的共轭的2切方向.

定理3曲面上存在正交且共轭的2个切方向，使得法曲率分别达到最大值和最小值.

为求出最值方向满足的方程，文献［4］中导出(8)式的计算量较大，现给出如下几种简便办法.

将(9)式化简，也可以得到(8)式.

得到使法曲率取到最值的方向du∶dv满足方程

方程(10)的判别式为

在一个非脐点，判别式Δ＞0，方程(10)总有2个不相等的实根，曲面在这一点总有2个不相同的方向，法曲率在这2个方向分别达到最大值和最小值.在脐点处，方程(10)变成恒等式，即任意方向上的法曲率相等.

从方程(10)出发，利用根与系数的关系，可以得到如下结果:

定理4［7］曲面在非脐点处，法曲率的最值方向du∶dv是方程(10)的根.

由方程(10)的2个解所确定的切方向du∶dv和δu∶δv，其上的法曲率值分别是法曲率的最大值和最小值，并且2个切方向dr=rudu+rvdv与δr=ruδu+rvδv互相正交且共轭.

3 法曲率最值和最值方向的特征值及特征向量性质

由(6)式可知，最值方向满足

因为方程组(11)，(12)有非零解，所以

将(13)式展开，得到最值的方向du∶dv满足方程

将(11)，(12)式写为矩阵形式，得

因此k1，k2必满足特征方程|kI－A－1B|=0，|B－kA|=0，

已经知道特征方程(14)只有2个不相等的实根，或者只有2个相等的实重根［1－3］.

综合以上推导可得，若特征方程(14)有2个不相等的实根k1，k2，设k1＜k2，则k2是法曲率的最大值，k1是法曲率的最小值.若特征方程只有2个相等的实重根k1，k2，k1=k2，则法曲率为常值.

定理5法曲率的最值和最值方向分别是矩阵A－1B的特征值及特征向量;矩阵A－1B的特征值及特征向量分别是法曲率的最值和最值方向.

因为法曲率的最值小值k1和最大值k2是特征方程|λI－A－1B|=0的2个根，所以

于是高斯曲率

平均曲率

于是dr·δr=0，dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv，即dr，δr是曲面上互相正交且共扼的切方向.

曲面在脐点处，任何切方向的法曲率等于常数，自然存在2个切方向互相正交且共轭.

定理6曲面在非脐点处，使法曲率分别达到最大值和最小值的2切方向互相正交且共轭;曲面上存在正交且共轭的2个切方向，使得法曲率达到最大值和最小值.

由(11)，(12)式，可得

由(15)和(16)式，可得－(nudu+nvdv)=ki(rudu+rvdv)，即得dn=－kidr.

2个切方向dr=rudu+rvdv与δr=ruδu+rvδv互相正交且共轭，即dr·δr=0，dn·δr=0，其中dn=nudu+nvdv.

因为dn在切平面上，所以有dn//dr，进而导出罗德里格斯定理［1－3］和Weingarten变换的引入［2－3］.

对矩阵A－1B的特征值和特征向量的考察，由此导出引入Weingarten变换与考察Weingarten变换的特征值和特征向量的问题［2，3］.

4 法曲率的Euler公式的条件及证明方法

定理7［2－3，6，8］设dr=rudu+rvdv和δr=ruδu+rvδv是曲面上正交且共轭的2单位切方向，2方向上的法曲率分别为k1，k2，曲面上一单位切方向v与dr的夹角记为θ，kn为切方向v的法曲率，则有kn=k1cos2θ+k2sin2θ，这个公式称为法曲率的Euler公式.

证明 由于dr=rudu+rvdv与δr=ruδu+rvδv正交且共扼，由条件可知

利用法曲率的Euler公式，即得曲面上正交且共轭的2切方向是法曲率的最值方向，其上的法曲率就是法曲率的最值［2－6］.

［1］ 梅向明，黄敬之.微分几何［M］.第4版.北京:高等教育出版社出版，2008:87-105.

［2］ 陈维桓.微分几何［M］.北京:北京大学出版社，2006:139-143;229-241.

［3］ 彭家贵，陈 卿.微分几何［M］.北京:高等教育出版社，2002:43-47;110-117.

［4］ 华罗庚，著.高等数学引论(第2册)［M］.王 元，校.北京:科学出版社，2009:284-311.

［5］ 马 力.简明微分几何［M］.北京:清华大学出版社，2004:27-38.

［6］ 王幼宁，刘继志.微分几何讲义［M］.北京:北京师范大学出版社，2003:113-127.

［7］ 邢家省.法曲率最值的直接求法［J］.吉首大学学报:自然科学版，2012，33(4):11-15.

［8］ 朱晓英.欧拉公式的再推导［J］.无锡教育学院学报，2000，20(3):67-71.

(责任编辑 向阳洁)

Properties of Extreme Value and Extreme Value Tangent Vector of Normal Curvature on Surface

XING Jia-sheng，WANG Yong-jun
(Department of Mathematics，LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China)

The direct method of finding the extreme value of normal curvature and the extreme value vector are considered.A direct derivation method is proposed，and its properties as matrix characteristic value and characteristic vector are obtained.

extreme value of normal curvature;extreme value tangent vector;characteristic value;characteristic vector;conjugate and orthogonal tangent vector;Euler’s formula of normal curvature

O186.11

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2013.01.002

1007-2985(2013)01-0006-05

2012-09-21

国家自然科学基金资助项目(11171013)

邢家省(1964-)，男，河南泌阳人，北京航空航天大学数学与系统科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何研究.