非线性弹性地基上矩形薄板的动力学研究

高永毅，唐 果，万 文

(1.湖南科技大学 物理学院;2.湖南科技大学 数学与计算科学学院;3.湖南科技大学 能源与安全工程学院，湘潭 411201)

地基板是工程中常见的结构，在公路路面、机场跑道、停机场、工业地坪以及建筑基础等多种工程中都会遇到亟待解决的地基板的问题，因此对地基板的研究是非常必要的，具有十分重要的工程意义。但在解决地基板问题的时候通常忽略地基板非线性因素，用线性方法进行研究。实际上地基板是非线性的，因此有必要对地基板问题进行非线性研究，由此，地基板问题的非线性研究引起了国内外专家学者的充分重视和广泛研究。Gajiendar［1］、Nath［2］、Dumir［3］、邱平等［4］研究非线性弹性地基上圆薄板的振动问题。杨志安等［5-14］研究了非线性弹性地基上受简谐激励矩形薄板的主共振与奇异性问题;温度场中非线性弹性地基上矩形薄板主共振问题;非线性弹性地基上矩形薄板受双频参数激励作用的非线性振动问题;非线性弹性地基上矩形薄板的非线性振动与奇异性问题;非线性弹性地基上矩形薄板的主参数共振问题;Winkler地基上四边自由矩形薄板的超谐波、亚谐共振与奇异性、混沌问题。彭震等［15］研究了温度场中受简谐激励作用的Winkler地基梁，分析了激励、阻尼等对系统响应曲线的影响。俞卫琴等［16］研究了位于非线性弹性地基上受均匀横向简谐激励作用的小挠度矩形薄板动力学模型的全局分岔问题。葛根等［17-18］研究了矩形薄板在面内随机参数激励下的随机分岔和随机最优控制下的首次穿越问题。以上研究主要是对非线性地基板的主共振求解方法;数值计算;温度、阻尼系数、地基系数、几何参数等对主参数共振的影响;有界噪声激励下温度场中非线性弹性地基上矩形薄板的随机振动等问题进行了研究;并没有对地基板非线性问题解的稳定性、频率响应特性和非线性因素对其影响，即:地基板的非线性振动特性进行研究。

为了能给地基板的设计、计算分析提供可靠的理论依据，对地基板的非线性振动特性的研究是很有必要的。因此，本文在考虑了阻尼和地基非线性效应的基础上，建立了小挠度矩形板横向均布简谐激励作用下的非线性动力学方程;用谐波平衡法研究了其非线性振动特性;导出了频率响应方程，研究了频率响应特性;讨论了非线性因素的影响，得出了非线性弹性地基板非线性因素的忽略条件;分析了地基板的非线性振动的稳定性，得出了稳定区和不稳定区的分界线方程。

1 矩形薄板的非线性动力学方程

1.1 非线性弹性地基上矩形薄板的非线性动力学方程

［8］已指出，对于以矩形地基板为结构形式的公路路面，机场跑道，停机场，工业地坪等，其边界条件可以认为是两端简支的;参考文献［5］已给出图1所示的板厚为h，长、宽分别为a和b，左右边界上受有均匀分布压力N，在横向受均匀分布简谐力F，非线性弹性地基反力为k1w+k23［1-4］，阻尼力为c∂w/∂t，惯性力为ρh∂2w/∂t2，置于非线性弹性地基上两边简支的矩形薄板的非线性弹性地基板动力学方程为:

式中:

N为纵向力;F=qcosωt为横向激励;w为板的横向挠度;ρ为板单位体积的质量;c为阻尼系数;E为弹性模量;γ为泊松比;k1和k2分别为线性和非线性地基系数。

图1 非线性弹性地基上矩形薄板模型Fig.1 Model of the thin rectangular plate on the nonlinear elastic foundation

两边简支的边界条件为:

因此，取满足边界条件的位移模式为［9］:

其中:

由Galerkin原理有:

将式(2)、式(3)代入式(4)积分可得:

式(6)为非线性弹性地基上两边简支矩形薄板的非线性动力学方程。

1.2 非线性弹性地基上矩形薄板的稳态周期响应

考虑非线性弹性地基上矩形薄板的振动分析依赖于式(6)的有效求解。因为目前还不能求得式(6)的严格精确的分析解，因此针对工程实际中设计的需要，用谐波平衡法求式(6)的近似稳态周期解。

设式(6)的稳态近似解为:

将稳态响应式(7)代入式(6)，令同阶谐波系数相等，并将D、p、ξ、e、F的表达式代入则有:

通过式(8)解出B和φ可得系统稳态响应。此外，由于式(6)中包含三次方非线性项，所以当非线性弹性地基上矩形薄板的刚度非线性因素不能忽略时，非线性弹性地基上矩形薄板的振动除了存在ω=p的主共振外，当激励频率接近派生系统固有频率的1/3或1/9时还存在频率为3ω或9ω的超谐波共振，以及当激励频率接近派生系统固有频率的3倍或9倍时，存在频率为ω/3或ω/9的亚谐波共振，这在非线性弹性地基上矩形薄板设计时需予以充分关注。

2 非线性弹性地基上矩形薄板解的稳定性分析

设:η(t)为扰动变量

令:

将式(9)代入式(6)得扰动方程为:

现在将研究方程(6)解的稳态性转化为研究方程(11)零解的稳定性。参考文献［5］已指出其阻尼项、非线性项与惯性力项相比是小项，所以ξ，e，，α都为小参数。

把方程(12)的解和参数δ展开为小参数ε的幂级数有:

代入式(12)，比较ε同次幂系数得:

方程(15)的解为:η0=dcosnt+fsinnt，n=1，2，3…，其中:δ0=n2。

由参考文献［19］推得稳定和不稳定区域以下述曲线为分界线。

由此可得方程(6)在B-ω平面上的稳定和不稳定区域分界线。

当 δ取 δ0+εδ1+ε2δ2并取 δ0=1 时分界线为:

当取δ0=4时分界线为:

根据方程(20)和(21)，利用Matlab可以在B-ω平面上绘出周期解稳定和不稳定区域的分界线，取参考文献［10］的实例，参数取值为:ρ=2.5×103kg/m3，c=0.1，E=3.5 ×109Pa，γ =0.15，a=3.5 m，b=4 m，h=0.2 m，N=600 N/m，k1=4 ×108N/m3，k2=4 ×107N/m3。方程(6)的周期解稳定和不稳定区域的分界线如图2所示。其中，有剖面线的区域为不稳定区域，其余为稳定区域。对非线性弹性地基上矩形薄板的设计的工程实际问题而言，分界线上周期解的稳定性并不重要，但必须避免系统的参量落入不稳定区域，以免发生参量共振。

图2 参数平面的稳定区Fig.2 Region of stabilization

3 非线性弹性地基上矩形薄板的频响特性分析

把式(8)中两式平方相加，得频率响应方程为:

从方程(22)可知，非线性弹性地基上矩形薄板的振动频率是振幅B的函数，即ω=f(B)。取与参考文献［10］中相同的参数，对方程(22)进行数值计算，可得到非线性弹性地基上矩形薄板的频率响应特性曲线，如图3(a)所示。

由图3可知，非线性弹性地基上矩形薄板的非线性弹性地基反力使非线性弹性地基上矩形薄板的频率响应特性曲线呈硬特性;并且导致了突跳和滞后现象。图3(b)所示，当频率ω从一个相对小的值开始逐渐增大，则振幅沿频响曲线也逐渐增大，直到点1，在该点频响曲线有铅直切线，当频率继续增大时，振幅突然从点1跳到频响曲线较低分支的点2上，然后沿频响曲线逐渐减小。反之，如果ω从一个相对大的值开始逐渐减小，则振幅沿频响曲线逐渐增大，直到点3，在该点频响曲线有铅直切线，当频率继续减小时，振幅突然跳到频响曲线较高分支的点4上，然后从点4开始，振幅沿频响曲线逐渐减小。在频响曲线上，两个跳跃之间形成一个滞后环。在滞后环内，振幅是频率的多值函数。分析和计算表明，当横向激励的幅值逐渐改变时，也存在振幅的突跳和滞后现象。

图3 频率响应曲线图Fig.3 Curve of frequency response

图4 线性因素对频响特性的影响Fig.3 The effectness of nonlinear factors for frequency response

4 非线性弹性地基板非线性因素的忽略条件

从方程(1)和方程(6)不难看出，k2和ξ的大小反映了非线性弹性地基反力取k1w+k2w3时，非线性弹性地基板的非线性强弱。取与文献［10］中相同的参数对式(22)进行计算，可得非线性的强弱(由k2和ξ表征)对频响特性的影响，如图4所示。显然，k2和ξ的值越大，系统的刚度非线性越强，频响曲线越向右弯曲。由方程(8)中的第一式可以得到:

由式(23)可知，只有当:

成立时，k2和ξ才为小值，才能忽略非线性弹性地基板的非线性因素的影响。因此，在对地基板进行设计和计算分析时，只有在各个参数满足式(24)时才可以不考虑非线性因素的影响;否则就不能忽略地基板的非线性因素。所以，式(24)是非线性弹性地基反力取k1w+k2w3时，非线性弹性地基板非线性因素的忽略条件。

5 结论

通过以上分析可以看到，对于地基上矩形薄板当考虑非线性因素时，其振动特性与线性情况相比较有很大的区别，可以得到以下几点结论:

(1)非线性弹性地基上矩形薄板的振动除了存在主共振外，当激励频率接近派生系统固有频率时还存在超谐波共振和亚谐波共振。

(2)只有系统的参量位于由式(20)和式(21)确定的稳定区范围时，才有稳定的周期解，并不是所有参量对应的周期解都是稳定的。

(3)频响特性的分析结果表明，考虑地基上矩形薄板当考虑非线性因素时，其振动产生突跳和滞后现象，当ω=p时其振幅不一定是最大点。

(4)得到非线性弹性地基板非线性因素的忽略条件式(24);只有在各个参数满足式(24)时才可以不考虑非线性因素的影响。

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