双曲型偏微分方程的变分迭代解法
2013-08-29黄得建李艳青
黄得建,李艳青
(琼州学院理工学院,海南 三亚 572022)
0 引言
二阶双曲型偏微分方程通常有如下形式:
变分迭代算法是何吉欢在广义拉氏乘子法[1]的基础上提出来并进行改进[3],[2,4]中作者成功的将此法应用到一些模糊方程问题,[5]中作者将这种方法应用于生物反应模型,[6,7]分别给出了这种方法的理论依据.下面应用[3]中改进的变分迭代算法来找一类双曲型偏微分方程的精确解.
1 双曲型偏微分方程及解法分析
考虑下面的二阶偏微分方程:
其中a,b,c,f 都是关于(x,y,p)的函数,其中p=(u,ux,uy).若对任意的(x,y),都有b2-ac>0 成立,则式(1)是一个双曲型方程.
考虑双曲型偏微分方程(1)及定解条件:
或
假定式(1)中的系数与ux,yy和u 无关.若定解条件为式(2),则由变分迭代算法,可在y 一方向上构造解的校正泛函如下:
其中c≠0.应用变分迭代算法,可近似识别:λ1=η-y
假定初始近似解为
由[3]中改进的变分迭代算法,可以得到式(1)解的迭代公式如下:
同理,若定解条件为式(3),由变分迭代算法,可在方向上构造解的校正泛函:
其中a≠0.应用变分迭代算法,可近似识别:λ2=ξ-x
假定初始近似解为
可以得到式(1)解的迭代公式如下:
2 应用
变分迭代算法可以准确的得到上述线性双曲型偏微分方程的精确解,以下用几个例子来说明.
例1 考虑如下方程[8]:
定解条件为:
式(6)可改写为:
由变分迭代算法,可以构造y 一方向上解的校正泛函如下:
应用变分迭代算法,可近似识别:λ=η-y
假定初始近似解为:u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2,
由式(4),可以得到解的迭代公式如下:
将u0(x,y)=f(x)+g(x)y=3x2代入上式,得
如表1,健康志愿者的rCBF比值范围为(1.013±0.079),ASL图左右对称,未见明显的异常灌注区;患者中TIA发作患者有15例,大面积梗塞患者11例,小面积梗塞患者14例,rCBF比值范围为(0.764±0.117),两组数据对比组间差异具有统计学意义(P<0.05)。
此为式(6)在满足定解条件u(x,0)=3x2,uy(x,0)=0 时的精确解.
例2 考虑如下方程[8]:
定解条件为:
式(7)可改写为:
由变分迭代算法,可以构造方向上解的校正泛函如下:
应用变分迭代算法,可近似识别:
假定初始近似解为:u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0,
将u0(x,y)=f(y)+g(y)x=0 代入上式,可得:
此为式(7)满足定解条件u(0,y)=0,ux(0,y)=0 时的精确解.
例3 考虑如下方程[8]:
定解条件为:
由变分迭代算法,可以构造方向上解的校正泛函如下:
应用变分迭代算法,可近似识别:λ=ξ-x
假定初始近似解为:
由式(5),可以得到解的迭代公式如下:
将u0(x,y)=f(y)+g(y)x=y+x 代入上式,可得:u1(x,y)=x+y
此为式(8)满足定解条件u(0,y)=y,ux(0,y)=1 时的精确解.
3 结论
把改进的变分迭代算法成功地运用到一类双曲型偏微分方程的求解,过程既简单又直观,并且收敛速度很快,计算量小、精确度高,又可以很方便的编程.
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