离散傅立叶变换和波束形成的对比分析

2013-08-23王绪虎陈建峰陈万平张群飞

电气电子教学学报 2013年2期

王绪虎，陈建峰，陈万平，张群飞

(1.西北工业大学航海学院，陕西西安，710072;2.曲阜师范大学物理工程学院，山东曲阜，273165)

在信号处理中，离散傅里叶变换(DFT)是信号分析和处理的重要工具［1，2］。离散傅里叶变换是将时域连续信号的采样序列转换到频率域进行分析，而波束形成是将空间连续信号采样后转换到波束域进行分析［3，4］。为了方便学生的理解，我们对离散傅里叶变换和波束形成两者进行了类比分析，讨论了频域分辨力和空间分辨力问题。我们还设计了相应的仿真实验进行对比验证，实现教学实验与科研训练相结合，启发学生开展研究型学习和实验，使其更好地掌握“自导系统”课程内容。

1 离散傅里叶变换

一种常用的离散傅里叶变换表示形式如下:

式中，X(k)为频域序列，k频率采样点序号，x(n)为时间序列，n表示时间采样点序号，N为时频域的采样点数。

利用离散傅里叶变换对连续时间信号做频谱分析时，首先要满足抽样定理，即fs≥2fh(fh表示信号的最高频率，fs表示抽样频率)。处理过程中会存在栅栏效应和频谱泄漏等现象。

假设信号长度为T0，采样频率fs对应的采样时间间隔为T，则采样点数为N=T0/T。由此可得信号频域上的采样间隔(即频率分辨率)为

所以频率分辨率与信号的实际长度成反比，信号越长(T0越大)其分辨率越高(F0越小)。

2 波束形成

波束形成是指将基阵各阵元输出(空间采样信号)经过处理(如加权、延时及求和等)形成空间指向性的过程。它可以滤除空间某些方位的信号，只让指定方位信号通过。假定波束形成器采用加权、延时及求和算法，那么波束形成器的输出为

式中，M表示阵元数目;wm是对第m个传感器接收信号施加的权重;sm(t)为第m个阵元的接收信号，τm是相应阵元的相对时延。τm的选择应该使来自空间特定方位Ω0的信号同相相加，而使其他方向的信号不能同相相加以致相互抵消。

考虑均匀线列阵的均匀加权的情况，波束形成器的输出为

式中，ψ = β － β0，β =2πdsinθ/λ，β0=2πd sin θ0/λ，θ∈(-90°，90°)为波束扫描方向，θ0∈(-90°，90°)为预成波束方向，λ表示信号波长，d为阵元间距。现令θ0=0°，则均匀线列阵的静态方向图为

式中，ω表示信号角频率，c表示信号在介质中的传播速度。

由|G(θ)|2=1/2可得均匀线列阵波束图半功率点波束宽度 BW0.5，它是随波束方向发生变化的［5］。为了对不同线列阵的分辨力进行比较，一般考虑的是静态方向图的半功率点波束宽度，对于均匀线阵而言，其波束宽度为

式中，D为天线的有效孔径，rad表示弧度单位。对于M个阵元的均匀线列阵，阵元间距为λ/2，则天线的有效孔径为D=(M－1)λ/2，所以对于均匀线列阵，阵列波束宽度为

由上式可见，均匀线阵的分辨力随着阵元数目的增加而提高，即与阵列孔径成正比。

3 实验设计

比较式(3)和式(8)可知，傅里叶变换的频率分辨率与波束形成的空间分辨力问题具有相似性。为了将两者的相似性形象直观地展示给学生，设计了下述实验帮助学生理解掌握这部分内容。

3.1 频谱分析实验

实验条件:信号频率分别为 f1=50Hz，f2=52Hz，采样频率 f2=256Hz，信号 s1(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf3t)，s2(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)。对两个信号作频谱分析。

图1是信号时长度为T0=0.5s的频谱分析图。图1(a)是作256点的DFT。从图中可看出，该信号s1(t)的频谱上可以清晰的分辨出两个频率(上图)，信号s2(t)的频谱上只有一个极值，无法分辨出两个频率值(下图)。图1(b)作512点的DFT，其频谱分辨情况与图1(a)相近，但其频谱包络更细致平滑。由于两信号长度为0.5秒，因此其频率分辨率为F0=2Hz。信号 s1(t)两频率间隔 Δf1=f3－f1=2Hz，满足Δf1≥F0因而能分辨出两个频率值;信号s2(t)的两个频率间隔为Δf2=f2－f1=1Hz，Δf2＜F0因而不能分辨出两个频率值。两图之间的包络差异主要是由作傅里叶变换的点数不同造成的，两个信号的数据点数都为128点，图1(a)作256点DFT，后面补了128个零点;图1(b)作512点的DFT，后面补了384个零点。也就是说图1(b)的频谱被插值细化，因而其谱型相对细致光滑。

图1 时长0.5秒的DFT频谱图

图2是信号长度为T0=1.0s的频谱分析图。由两图可以看到，在采用512和1024点的DFT时，信号s1(t)和s2(t)的频谱图上都能分辨出两个频率。这是因为此时频率分辨率F0=1Hz，Δf2和Δf1都能满足不小于F0，故能分辨出两信号中的频率分量。两图中右上部都给出了频谱极值附近的细致结构图。从图上可以看出，图2的波形包络比图1中的平滑，原因也是其参与傅里叶变换计算的点数多，频谱被插值细化，故它的形状细致平滑。

图2 时长1秒的DTF频谱图

3.2 波束形成实验

实验条件:目标与均匀线列阵法线方向的夹角分别为0°、3°和6°。目标分成两组，第一组目标分别位于0°和6°的位置，第二组目标分别位于0°和3°的位置。分别对半波长间隔的24元和48元均匀线列阵进行了仿真分析。

图3为24阵元基阵波束图。图3(a)的上图可清晰地分辨出两个目标的方位，下图只有一个极值，不能分辨两个目标。24元均匀线列阵的半波束宽度约为 BW0.5≈4.25°，而第一组目标中目标的方位差Δθ1=6°＞4.25°，故能分辨两信号方位;第二组目标中目标的方位差 Δθ1=3°＜4.25°，故不能分辨两目标信号方位。图3(b)对双目标的分辨情况与图3(a)基本一致，因其角度扫描间隔小于图3(a)扫描间隔(0.2°＜1°)，故其波束包络局部结构较图3(a)更为细致。

图4为48阵元基阵的波束图。从图中可以看出，两组信号的双目标方位都可清晰分辨出来，其原因在于两组信号的目标方位差都大于半波束宽度BW0.5≈2.13°，因而都能分辨出两个目标。从波束包络的局部结构可看出图4(b)比图4(a)的包络更为平滑，原因为其扫描间隔比较小。