直线中的最值问题

郑玉琳　康莹

直线方程从代数角度而言是函数中最简单的一种形式，也是学习解析几何的基础.与直线方程有关的最值问题是一种常见题型， 它是直线方程与代数知识的有机综合，体现了用数解形的数学思想.

求直线中的最值问题方法：

1.配方法 —— 针对二次函数.

2.不等式法 ——针对和（积）定的函数.

3.数形结合法 ——先作出函数的图象，再利用函数图象的特征解题

4.判别式法——针对含参数的一元二次方程.

一、转化为求二次函数的最值

例1 如图1，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层楼的公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.

解析：显然长方形的第四个定点一定在线段AB上，设该点为M，如图构造长方形MNDP，并补出长方形QCDP，

二、利用判别式求最值

根据已知条件建立含参数的一元二次方程， 再由方程有解的条件， 用判别式求解.

例2 已知直线l：y=4x和点P（3，2），点N是l上在第一象限内的点，直线NP交x轴的正半轴于点M，则△OMN的面积的最小值是 .

解析： 设M（a，0）（a>0），则PM的方程为

三、 数形结合求解最值

运用数形结合解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且可避免复杂的计算和推理，简化解题过程，起到事半功倍的效果.