诠释“动能定理”

胡慧青

摘要：许多中学生对动能定理的理解往往含糊不清.本文通过举例，详细分析了有关对动能定理的理解不易分清的三种表述，帮助中学生能根据不同的模型去理解和应用动能定理.

关键词：动能定理；表述

动能定理是一个非常重要的物理规律，也是教学的重点、难点之一.中学生在理解动能定理时，容易出现下面三种不易分清的表述.第一种表述：“作用在物体上的合外力的功等于物体动能的增量.”第二种表述：“作用在物体上的外力做功之和等于物体动能的增量.” 第三种表述：“力做的总功等于各物体动能增量之和.”这三种表述是否都正确呢？如果正确，它们是否等价呢？我们作如下分析.

一、分析第一种表述

如果研究对象可看作大小、形状可以忽略的质点，而且作用在质点上的合外力不为零，那么合外力是产生加速度的原因，合外力做功等于质点动能的增量，我们把这种情况叫做质点动能定理.

如果研究对象是不可看作质点但做平动的物体，那么合外力是产生质心加速度的原因，而内力不能产生加速度.（因为内力是一对作用力和反作用力，分别作用在物体的各个部分，各部分的质量与其内力产生的加速度乘积的矢量和为零，内力对质心加速度的贡献为零.例如，人拉着穿在自己身上的衣服不可能使自己离开地球.）这时，合外力做功也等于物体动能的增量.

简单地说，第一种表述研究的对象是可以忽略大小、形状的物体或做平动的物体.这时，动能定理的表达式可以写成：A外=ΔEK =EK2-EK1.A外为合外力对物体做的功，EK1、EK2为物体的始末动能，这种表述是动能定理最简单的形式.

例1 如图1，AB为半径R=1.5 m的1/4圆周的运料滑道，BC为水平滑道.一质量为2kg的卵石从A处自静止开始下滑，滑到C点停止.设滑到B点时速度为4 m·s-1，B，C间距离为l=3 m.求卵石自A点滑到B点反抗摩擦力的功；并求BC段水平滑道的滑动摩擦系数.

本题中的卵石的运动是滑动，可以看作质点.根据动能定

理可以解得Af=13.4 J；u=0.27.

二、分析第二种表述

如果研究对象可看作质点，作用在物体上的合外力的功等于作用在物体上的外力做功之和，这时，第二种表述：“作用在物体上的外力做功之和等于物体动能的增量.”显然也成立.如果是刚体绕固定轴转动的情况，则外力做功和等于物体转动动能的改变量，我们把这种情况叫做定轴转动刚体的动能定理.如果研究对象是物体系且有内力做功情况，那么这种表述必然与若干实验事实相矛盾.

例2 光滑水平面上放一质量为m 的物块，它两边都焊接劲度系数都为k的水平轻弹簧，如图2（a）所示；在弹簧的两边分别用大小相等，方向相反的水平力非常缓慢地压缩弹簧，如图2（b）所示.该物体系（物块和弹簧）所受外力做功和为2kx2，并不为零，而动能增量为零，外力做功之和并不等于物体动能的增量.实际上，弹簧被压缩，外力做功为kx2，弹性力（内力）做功为-kx2，外力做功与内力做功的总和为零，物体系的动能增量也为零.

再比如，如图3，一个可绕固定轴转动的转盘，受到大小相等，方向相反的两个力作用，该转盘受合外力为零，合外力做功为零，但外力做功之和并不为零，而等于转盘转动动能的改变量，即A=A1+A2 =ΔEK转.有关转动动能定理这里不再详谈，有兴趣的学生可以查阅有关普通物理的书籍.

从上述两例分析可以得到，凡涉及到物体转动和内力做功的问题都与第二种表述相矛盾.

三、分析第三种表述

实际上第三种表述是经典力学中物体系动能定理最简单明了的表述.这里回避了内力和外力，平动和转动及相对振动，中学生是可以接受的.少一个关键的“外”字与多一个关键的“外”字，物理内涵产生了“质”的差别.这种表述的研究对象可以是质点或几个物体组成的物体系.这时，动能定理的表达式：A=A外+A内=ΔEK=E

K2-EK1，这里的EK2，EK1为物体系中所有物体始末状态动能的总和.在应用动能定理解决问题时，可以几个物体组成的物体系为研究对象，这样会使分析问题和解决问题变得简单、快捷、明确，甚至是其他方法所不能取代的.

综上所述：第二种表述不妥.第一种表述固然简单易于接受，但是这种表述只对质点或平动的物体而言，不能全面地阐明动能定理.如果要讨论内力做功不为零的几个物体系情况，必须采用动能定理的第三种表述，它是经典力学中动能定理的一般表述，研究对象比较广，内涵比较深，具有普遍性.所以我们学习动能定理时需要认真琢磨，抓住它的本质，根据不同的模型去理解和应用动能定理.

参考文献：

[1] 杨庆裕. 普通物理学选论[M].南京：南京师范大学出版社，2000，22.