代数满同态下的模-相对Hochschild（上）同调

陈媛

（湖北大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉430062）

0 引言及预备知识

2008 年，Ardizzoni等人在非交换几何的研究中发现并引入了模-相对Hochschild（上）同调［1］.这一概念在非交换代数几何中扮演着重要角色，它给出了可分双模以及形式光滑双模的一种刻划.在非交换且相对的情形下，可分双模可看成是点丛，即相对上同调维数为零的对象；而形式光滑双模则可看成是曲线丛，即相对上同调维数小于或等于1的对象.De La Peña等［2］证明了，当φ：C→B是代数的同调满同态时，B和C的通常的Hochschild上同调群之间存在一个长正和列.本文中旨在探讨代数满同态下，B和C的模-相对Hochschild（上）同调之间的本质联系.

首先规定一些记号.代数指的都是含单位元的结合代数.用BR，RA和ARB分别表示左B-模范畴、右A-模范畴以及A-B-双模范畴，BMA表示M是B-A-双模.

设R是交换环，A和B是R-代数，Ae＝A⊗RAop表示A的包络代数.给定双模BMA，考虑伴随函子：

如下由ΗΒ-相对可裂态射构成的类记为εM，B：＝｛f∈BRB｜HomB（M，f）在ARB中是可裂满的｝.

由文献［3］中定理1.4知，εM，B总是投射类.进一步地，若M作为左B-模是生成子，则εM，B是由满态射构成的投射类（参见文献［1，命题3.1］）.此时任意的B-B-双模都存在εM，B-投射分解，且在同伦意义下是唯一的.注意到，BPB是εM，B-投射的当且仅当HomBe（P，-）是εM，B-正合的；另一个等价条件是存在某个X∈ARB使得π：ΤΒ（X）→P是可裂满的.易见，所有的投射B-B-双模以及具有形式ΤΒ（X）（X∈ARB）的B-B-双模都是εM，B-投射的.有关相对投射对象，投射类以及相对导出函子的概念，详见文献［4］中第9章或文献［5］中第8章.

定义0.1［1］设M是B-A-双模且作为左B-模是生成子.B在A上系数在BYB中的n阶BMA-相对Hochschild同调与上同调分别定义为：

特别地，取Y＝B，称（B，B）分别为B在A上的n阶BMA-相对Hochschild同调与上同调.注 若取BMA＝BBR（R为域），则模-相对Hochschild（上）同调就是通常意义下的Hochschild（上）同调；进一步地，如果存在代数同态μ：A→B，取BMA＝BBA，则模-相对Hochschild（上）同调就是（关于代数同态μ的）相对 Hochschild（上）同调［6］.

类似于非相对的情形，BMA-相对Hochschild同调与上同调也可以等价于由标准εM，B-投射分解得到的复形的同调与上同调.设εB：ΤΒΗΒ→IdBMB是伴随对（ΤΒ，ΗΒ）的余单位，双模BMA是BR的生成子.则由文献［1］中命题3.3知，对任意的BXB，链复形和

是BXB的一个εM，B-投射分解，称为BXB的标准εM，B-投射分解.其中

1 主要引理

设A，B，C是R-代数，φ：C→B是R-代数同态.给定双模CMA，则B⊗CM是B-A-双模.我们有以下伴随

对：

考虑如下的类：

引理1.1 设M是C-A-双模且作为左C-模是生成子，φ：C→B是R-代数同态.则B⊗CM作为左B-模也是生成子.且εB⊗CM，B和εM，C都是由满态射构成的投射类.

引理1.1的证明M作为左C-模是生成子，从而C作为左C-模是若干个M的直和的直和项.由B≅B⊗CC可知，B作为左B-模是若干个B⊗CM的直和的直和项，即B⊗CM作为左B-模也是生成子.即证.

引理1.2的证明 由于满态射构成的闭的类包含所有的同构映射及映射Z→0，我们只需证明g∈εM，C即可.显然，对任意的BWB，我们有A-C-双模同构HomC（M，W）≅HomB（B⊗CM，W），且

在ARB中可裂满，即存在A-B-双模同态h使得HomB（B⊗CM，g）h＝ΙdHomB（B⊗CM，Z）.又h也是A-C-双模同态，易见HomC（M，g）在ARC中可裂满，即g∈εM，C.即证.

是εB⊗CM，B-正合的.

引理1.3的证明 仅需证g＊∈εB⊗CM，B，即证HomB（B⊗CM，g＊）在ARB中可裂满.而对任意的CUC，CVC，作为C-C-双模U⊗CV≅V⊗CU.因此，由CM是有限相关的且C作为左C-模是平坦的，利用文献［7］中引理3.83，我们有如下A-B-双模同构（对CUC是自然的）：

因此，由HomC（M，g）在ARC中可裂满，可得HomB（B⊗CM，g＊）在ARB中可裂满.即证.

引理1.4 若CQC是εM，C-投射的，则B⊗CQ⊗CB是εB⊗CM，B-投射的.

引理1.4的证明 由于B⊗CQ⊗CB≅Be⊗CeQ，我们仅需证HomBe（Be⊗CeQ，-）是εB⊗CM，B-正合（即将所有的εB⊗CM，B-正合序列变为正合序列）.由引理1.2可知，εB⊗CM，B-正合序列也是εM，C-正合的.又

从而由HomCe（Q，-）是εM，C-正合，可得HomBe（Be⊗CeQ，-）是εB⊗CM，B-正合.即证.

2 主要结果及证明

定理2.1 设φ：C→B是R-代数同态，C是交换R-代数且C作为左C-模是平坦的.给定双模CMA，若M作为左C-模是生成子且是有限相关的，则对任意的CXC，BYB以及n≥0，我们有

定理2.1的证明 设（ΡX，d＊）是CXC的标准εM，C-投射分解.将B⊗C-⊗CB作用在（ΡX，d＊）上，得到复形（B⊗CΡX⊗CB，B⊗Cd＊⊗CB）.由引理1.3～1.4知，（B⊗CΡX⊗CB，B⊗Cd＊⊗CB）是B⊗CX⊗CB的一个εB⊗CM，B-投射分解.由于有以下同构：

易证，可将复形HomBe（B⊗CΡX⊗CB，Y）和HomCe（ΡX，Y）等同，复形（B⊗CΡX⊗CB）⊗BeY和ΡX⊗CeY等同.从而它们有相同的同调群.结论得证.

进一步地，假设φ：C→B是R-代数满同态，即对任意的R-代数同态ψ，χ：B→D，若ψφ＝χφ，必有ψ＝χ.又φ：C→B是R-代数满同态当且仅当乘法映射B⊗CB→B是双模同构.若φ：C→B是R-代数满同态，则对任意的BX，我们有BX≅B⊗CB⊗BX≅B⊗CX且BXB≅B⊗CX⊗CB.

推论2.2 设φ：C→B是R-代数满同态，C是交换R-代数且C作为左C-模是平坦的.给定双模CMA，若M作为左C-模是投射生成子，则对任意的BYB以及n≥0，我们有

设φ：C→B是R-代数满同态.进一步地，若M是B-A-双模，M的C-A-双模结构由φ诱导，则B⊗CM≅BM且εB⊗CM，B＝εM，B.由定理2.1有以下推论.

推论2.3 对任意的BXB，BYB以及n≥0，有

特别地，

进一步地，假设存在R-代数同态μ：A→C，取CMA＝CCA，则我们得到B和C的（分别关于代数同态φμ和μ的）相对Hochschild（上）同调之间关系.记C的系数在CYC中的（关于代数同态μ：A→C的）相对Hochschild同调和上同调［6］分别为 Hn（C｜A，Y）和 Hn（C｜A，Y）.

定理2.4 设μ：A→C是R-代数同态，φ：C→B是R-代数满同态，C是交换R-代数且B作为左C-模是平坦的.则对任意的BYB以及n≥0，我们有

定理2.4的证明 显然，C作为左C-模是投射生成子.利用推论2.2有

注意到，由相对Hochschild同调和上同调以及模-相对Hochschild同调与上同调的定义，立即有

从而命题得证.

［1］Ardizzoni A，Tomasz Brzezinski，Menini C.Formally smooth bimodules［J］.J Pure Appl Alg，2008，212：1072-1085.

［2］De la Peña J A，Xi C C.Hochschild cohomology of algebras with homological ideals［J］.Tsukuba J Math，2006，30：61-80.

［3］Ardizzoni A.Separable functors and formal smoothness［J］.J K-Theory，2008（1）：535-582.

［4］Hilton P J，Stammbach U.A course in homological algebra［M］.New York：Springer，1971.

［5］Weibel C A.An introduction to homological Algebra［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1994.

［6］Gerstenhaber M，Schack S.Algebraic cohomology and deformation theory［M］.Kluwer Academic Publications，1988.

［7］Rotman J J.An introduction to homological algebra［M］.New York：Academic Press，1979.