莫让教材分析流于形式

荀步章

最近，我们五年级数学组反复试上苏教版下册《圆的面积》一课，发现不同的执教者对教材处理各不相同，几处教材细节容易忽视，现罗列出来供同行们参考。

一、教材未提及，您注意到了吗

因教材未提及而不补充，就缺少了对圆面积的逐步感悟。有两位教师采用开门见山式，“今天，我们一起来学习圆的面积”，然后引导学生进行探究。这样教学就缺少了对圆面积概念的感悟，究其原因，因为教材没有提及，教材安排是直接进入探究环节，采用数方格的方法，“数”出圆的面积大约是多少。建议教学需要补充这一环节，帮助学生形成圆面积的概念，然后再探究圆面积的大小，有利于学生在大脑中留下完整的探究过程。可采用如下教学环节——

师：什么叫圆的面积呢？

师（出示一个圆片）：哪位同学愿意上来指一指圆的面积是哪一部分？请同学们用手摸一摸自己带来的圆片。谁来说一说什么叫圆的面积？

（课件动态演示，给大小不同的圆逐渐地、慢慢地涂上颜色，涂色部分就是圆的面积）

师：和你想得一样吗？能说说什么叫圆的面积吗？

生：圆内里面的部分就是圆的面积。

生：圆中的大小叫圆的面积。

生：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

学生通过纸片摸一摸，相互说一说，再观察动画演示，逐步建构圆面积的概念，明确研究的对象，层层深入，螺旋上升。

二、教材未安排，您关注到了吗

因研究无顺序而不梳理，就缺少了对圆面积的整体建构。在试教的过程中，部分教师带领学生研究了圆的面积与它内接正方形面积的关系，圆的面积与它外切正方形的面积的关系，但学生听得“云里雾里”，不知道教师壶中卖的什么药？如何让学生参与性更强，清楚所做的每一件事的意义，帮助学生从整体上建构圆的面积与两个正方形的关系。可采用以下教学环节——

电脑先呈现中间一个圆，再分别在这个圆的外面与内面画一个最大的正方形，如图1：

图1

师：观察这三幅图，你们能发现圆的面积与正方形面积有什么关系吗？

生：圆的面积比外面正方形的面积小一些，比内面正方形的面积大一些。

师：我们就分别来研究这两种情况，观察图2，你们有什么发现？

图2

生：正方形与圆的上下左右都靠起来了。

生：这个圆是正方形内最大的一个圆。

生：圆的面积比正方形的面积小。

生：圆的直径等于正方形的边长。

生：圆的半径是r，直径就是2r。

生：小正方形面积用r2表示，大正方形面积用4r2表示。

生：圆的面积比正方形面积4r2小一些。

师：观察图3，你们有什么发现？

图3

生：这个正方形是圆内最大的一个正方形。

师：圆的面积与正方形面积有什么关系？

生：圆的面积比正方形的面积大。

生：圆的半径是r，直径就是2r。

生：每个小直角三角形的面积是 1/2r2，正方形面积是2r2。

生：圆的面积比正方形面积2r2大一些。

师：从这两幅图中，你们又能得到什么？

生：圆的面积比2r2大一些，又比4r2小一些，在3r2左右。

“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应该让合理的猜想占有适当的位置。”（波利亚）通过对圆外切正方形和内接正方形的观察与思考，让学生主动发现，诱导想象，激活已有的知识和经验。学生推算得到“外切正方形面积是4r2”，“内接正方形面积是2r2”，把圆的面积确定在3r2左右，运用逻辑推导的方法，估计圆的面积大约范围，渗透了“猜想+证明”的发现问题和解决问题的科学思维。

三、教材未说明，您考虑到了吗

因认知是空白而不说明，就缺少了对数方格的真正理解。用数方格的方法求圆的面积是本节课的一大亮点，但在课堂实践时，学生会遇到很大困难。学生原有认知中，数方格求面积的办法是先数整格，然后数不是整格的，都按半格计算。这个方法在数第一幅图时就会有矛盾，其中整格数是4，剩下4个半格，加起来是6，圆的面积只能是半径平方的2倍，严重不符。而教学参考书给出的建议是：不满一格的，接近一格的都按一格计算，这样数就是7格，正好是半径平方的3.1倍，符合实际情况。有两位教师执教时，忽略了这个细节，学生得到的3倍多一些，仅仅是人为的虚假数据。可采用以下教学环节——

师：同学们得到了圆的面积是3r2左右，下面我们采用数方格的方法验证这个结论是否正确，把数出的数据填写在表格中？

师：特别要提醒同学们注意的是，每个小整格都是1平方厘米，特别接近整格的也按1平方厘米计算，其余的都按半格计算，数的时候要特别细心。

全班分三个小组分别探究以下三幅图：

图4 图5 图6

第一小组汇报：观察1号图，圆的半径为3厘米，r2为3×3=9平方厘米，数一数1/4 个圆的面积大约是7平方厘米，整个圆的面积大约是28平方厘米，用圆的面积除以r2大约是3.1倍。

第二小组和第三小组依次汇报，完成下表。

学生经历探索“圆的面积大约是半径平方的多少倍？”个个像小数学家一样，小组合作探究，运用数方格的方法，计算出半径的平方是多少平方厘米，然后得到圆面积的 大约是多少平方厘米，再乘以4计算出圆的面积，得到一个粗略的结论，圆的面积大约是半径平方的3倍多一些。在层层深入探索和大胆猜想的基础上，利用图形例证材料进行计算验证，发现数学规律。另外，在设计作业时，图中的比例要一致，否则每一个单位面积就不一样了，研究的素材就出现科学性错误。

四、教材有交待，您感受到了吗

因思维受挑战而不引领，就缺少对圆面积推导的适时抽象。在圆的面积公式推导时，几位执教者先引导学生回忆旧知中平面图形的面积计算公式，然后启发学生联想，通过剪、拼、旋转等方法把新图形转化成已学过的图形。学生想到把圆转化成已经学过的图形，但究竟转化成什么图形是非常困难的，这里的转化不是形与形的直接转化，而是变成一个近似的平行四边形，再通过无限细分想象变成一个“标准”的长方形，学生思维是存在障碍的。在教学过程中有的教师抽象过早，直接用电脑动画从近似的平行四边形到近似的长方形，当分的份数越来越多时，想象成一个“标准”长方形，这样的教学会导致学生感悟不足，没有真正观察感受体验到变化之“巧妙”。有的教师没有及时抽象过程，学生动手操作剪拼8等份、16等份、32等份之后，直接给出圆的面积公式，学生感到莫名其妙，它并不是一个长方形，怎样就能利用长方形的面积公式推导呢？从教材中可以看出，把圆转化成一个近似的平行四边形后，通过省略号，然后得到一个虚框的长方形，这个变化过程，应该让学生经过抽象与概括。可采用以下教学环节——

图7

师：回忆一下，以前我们常用什么方法来推导平面图形的面积计算公式？

生：通过剪、拼、旋转等方法把新图形转化成已学过的图形。

师：圆的面积计算公式是不是也能这样获得呢？

生：我们可以试一下，把圆转化成已经学过的图形。

师：好！从哪儿下手剪、拼最有可能转化成所学过的平面图形。

（小组讨论后汇报）

生：我们想把圆转化成长方形或平行四边形，但不知道怎么剪。

生：我们想把圆变成正方形，也感到困难。

生：既然圆的面积和它的半径有关，我们想沿着圆的半径剪开。

师：这个主意真不错！这儿为每个小组准备了8等份、l6等份、32等份的圆片，请同学们想办法，通过剪、拼把它转化成已学过的平面图形并贴在黑板上。

展示学生的作品。

师：从8等份，到16等份，再到32等份（放在一起比较），你们有什么发现呢？

生：8等份时还是一个近似的平行四边形，然后16等份时慢慢变成一个近似的长方形，到32等份时，就更加接近一个长方形了。

平面图形后，什么变了？什么没变？

生：形状变了，面积没变。

师：小组讨论一下，转化后的图形的面积怎样计算？能利用它来推导出圆的面积计算公式吗？

（分组活动，尝试推导圆面积计算公式，把推导的过程写下来，完成后以小组为单位介绍推导的方法与过程，并用实物投影展示）

师：综上所述，圆面积计算公式S=лr2，而且2r2 <圆的面积<4 r2。看来你们的推理和估算是正确的，而且还比较准呢。

波利亚说：“在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。”根据已学平面图形的经验，把未知的图形转化成已知的图形，运用已知图形的面积公式推导出未知图形的面积公式，这就是一种转化的数学思想方法。让学生联想“圆的面积公式如何推导呢？”是不是也可以转化为已学过的平面图形，这是学生建立在已有的知识经验基础上，是一种合理想象。圆的面积公式的探索过程，形成三个层次：迁移转化—操作试验—推导结论，学生通过自己实践及与同伴合作，多角度想象、思考，不但完成了学习任务，更重要的是对圆与其他平面图形之间的内在联系有了更深层的理解，为后续学习奠定了基础。学生在问题情境中“自己引导思维”，经历“猜测、假定、确定”的过程，体验‘冒险、创造、发现”的喜悦。

（作者单位：江苏省宝应县实验小学）

责编/张晓东