双缆悬索桥体系的力学特性(Ⅲ)*

柴生波 肖汝诚

(同济大学桥梁工程系，上海200092)

多塔悬索桥方案在众多跨海工程中多次被提出，然而真正付诸工程实践的仅有中国的泰州长江公路大桥和马鞍山长江公路大桥．究其原因，主要是多塔悬索桥的中塔缺少边跨主缆的有效约束，导致中间跨在非平衡活载作用下有可能产生较大挠度［1-2］，虽可采用刚性桥塔以增加结构整体刚度、减小变形［2-3］，但塔顶却要承担巨大的不平衡水平力［4-5］，这不但大大增加了下部结构的造价，而且主缆在中塔的抗滑移安全性难以得到保障，这是制约多塔悬索桥发展的一个重要原因．

中塔的刚度是影响多塔悬索桥力学性能的关键因素，塔的纵桥向刚度由以下两部分构成:一是桥塔结构本身的抗推刚度;二是主缆对桥塔的约束作用．采用刚度较大的桥塔的弊端显而易见，另外一种途径则是通过增大主缆对桥塔的约束作用来增大桥塔纵向刚度．

Osamu等［2］将主缆对桥塔的约束简化为弹簧，通过研究主缆线形与主缆水平力的关系推导了弹簧的刚度系数．柴生波等［6］通过能量原理推导了主缆对桥塔的约束表达式，发现主缆对桥塔的约束作用取决于单位桥长恒载重量及主缆垂跨比，且受垂跨比影响较大．传统悬索桥中，主缆垂跨比的取值一般在1/12～1/9之间，这也就决定了传统的悬索桥体系对桥塔的约束作用是受限的，而新的缆索体系却有可能改变这一现状．

双主缆悬索桥体系中主缆对桥塔的约束作用与传统悬索桥有较大差异，柴生波等［7-8］对双主缆悬索桥体系的顺桥向及竖桥向力学特性进行了初步研究，发现双主缆体系对桥塔的约束作用比传统体系大得多，但在研究主缆对于桥塔的顺桥向约束时未考虑主缆的弹性伸长作用，因此无法得出双主缆对于桥塔约束的表达式．文中将考虑主缆弹性伸长引起的主缆线形变化，推导双主缆体系对桥塔的约束作用表达式，研究双缆体系最大挠度的求解方法，并建立有限元模型进行验证．

1 基本理论

多塔悬索桥的最不利工况为其中一跨满布荷载，桥塔向加载跨一侧移动，此时加载跨挠度达到最大．对传统悬索桥而言，桥塔发生顺桥向位移时，非加载跨主缆线形改变，垂度减小，跨长增大，主缆水平力增大，从而起到对桥塔的约束作用．而双缆体系悬索桥对桥塔的约束原理如下:由于上缆与下缆垂度不同，塔顶发生位移时，上缆与下缆垂度改变量不同，连结上缆与下缆之间的吊索弹性伸缩可忽略，上缆与下缆竖向变形量相等，因此荷载通过吊索在上缆与下缆间重新分配，上缆与下缆内力随之改变，上缆与下缆总的水平力之和随之改变，从而起到对桥塔的约束作用．

分析双主缆悬索桥时采用如下假定:

(1)上缆与下缆总体线形均为抛物线;

(2)连结上缆与下缆的吊索不可伸长，上缆与下缆的竖向位移相等;

(3)主缆的变形主要由塔顶位移及主缆的弹性伸缩引起．

双主缆悬索桥如图1所示．

图1 双主缆悬索桥图示Fig．1 Suspension bridge with double main cables

1．1 均布荷载下的主缆变形

主缆的跨长为L，垂度为f，垂跨比为n，主缆的弹性模量和截面积分别为E、A，在沿跨长的均布荷载下，由主缆弹性伸长引起的主缆垂度改变量为df，如图2所示．

图2 沿跨长均布荷载作用下主缆的弹性伸长Fig．2 Elastic elongation of main cable caused by uniform live load along full span

根据文献［7］有

其中，

式(1)简记为

则有

由式(4)即可得主缆在沿跨长的均布荷载作用下，由主缆的弹性伸长引起的垂跨比改变量dn．分析u(n)可知，主缆垂跨比越大，在沿跨长的均布荷载作用下，垂跨比改变越小．

1．2 塔顶位移引起的主缆变形

若塔顶发生一微小位移δL，引起的主缆垂度改变量为δf，如图3所示，根据文献［9］，塔顶位移与垂度改变的关系近似为

图3 塔顶位移引起的主缆变形Fig．3 Deformation of main cable caused by displacement of tower top

1．3 双缆纵向约束刚度推导

当单跨承受满布均布荷载时(如图4所示)，假定塔顶发生朝向加载跨的位移δL，非加载跨主缆线形改变，上缆与下缆垂度分别为ft、fb，垂度改变量分别为δft、δfb(如图5所示)．假定塔顶位移引起的上缆与下缆垂度改变分别为δft1、δfb1，主缆的弹性伸缩引起的上缆与下缆垂度改变分别为δft2、δfb2．

上缆与下缆竖向变形相等，则有

图4 多塔体系的最不利加载工况Fig．4 Unfavourable load condition of multi-span suspension bridge

图5 塔顶发生位移时的主缆变形Fig．5 Deformation of main cables when tower top moves

根据式(5)可得

对于上缆及下缆，分别有

式中，nt、nb分别为上缆与下缆垂跨比，Et、At、Eb、Ab分别为上缆与下缆的弹性模量与截面积，qt、qb分别为非加载跨上缆与下缆所承担均布荷载的改变量，因为荷载在上缆与下缆间转移，因此有

将式(8)、(9)、(11)、(12)代入式(7)可得

将式(13)代入式(14)可解得

式(15)给出了塔顶位移量与荷载转移量之间的关系，将式(15)代入式(11)中得

又因为 δft= δft1+ δft2，由式(8)、(16)可得

式(15)和(17)分别给出了塔顶发生位移δL时，非加载跨恒载在下缆与上缆间的转移量以及主缆垂度的变化量．

悬索桥主缆水平力H与均布荷载有如下关系:

因此塔顶发生位移后非加载跨双主缆水平力增量为

Qt、Qb分别为成桥状态时，上缆与下缆分配的均布荷载．由式(15)、(17)可知，qt、δft都是 δL 的函数，其余各参数均已知，所以在成桥状态各参数均确定的情况下，水平力的增量δH是塔顶位移量δL的函数．

式(15)记为 qt=aδL，式(17)记为 δft=bδL，则式(19)可记为

双主缆体系对桥塔的顺桥向约束刚度可表示为KC= δH/δL=

其中，

由KC的表达式可以看出，KC是与塔顶位移有关的量，不能直接求出，求解时，可将δL取一个较小的数值，如 δL=0．01m，代入式(21)中求解．

1．4 加载跨的挠度

当对多跨悬索桥中某跨施加沿跨长的均布荷载时，此加载跨的主缆弹性伸缩及桥塔位移均能引起加载跨主缆垂度的改变，由于吊索的伸缩量十分有限，可近似认为主缆垂度改变量与加劲梁挠度相等．

主缆垂度变化由以下3部分构成:第一部分为桥塔位移引起的主缆垂度改变;第二部分为恒载在加载跨上缆与下缆之间的转移所引起的主缆垂度改变;第三部分为由均布活载引起的的主缆垂度改变．

在研究非加载跨时，由桥塔位移及恒载转移造成的主缆垂度改变量已经由式(17)求得，由于加载跨主缆下挠，而非加载跨为上挠，仅需改变式(17)符号即可，即

联合式(23)、(25)可得

下面研究由均布活载引起的主缆挠度，由于上缆与下缆的竖向位移相等，因此活载在上缆与下缆之间的分配比例取决于上缆与下缆的刚度，此问题在本系列文章(Ⅰ)［7］中已经进行了研究，有

式中，qtl、qbl分别为均布荷载在上缆与下缆上的分配量．均布荷载引起的主缆垂度改变由式(4)可得

均布荷载引起的上缆垂度改变量为δf3，则由式(28)可得

由式(26)、(29)可得

式(30)即为加载跨挠度的求解公式，式中b由式(23)求得．由式(30)可以看出，欲求加载跨的挠度，需先求得均布荷载在上缆的分配量qt及塔顶位移 δL．

2 双缆纵桥向约束模型验证

使用MIDAS建立三塔两跨双缆体系模型，采用程序自带建模助手根据上缆及下缆承担的恒载分别生成上缆及下缆的线形，然后用吊杆连结上缆与下缆，并与加劲梁相连．分别用梁单元和桁架单元模拟加劲梁和主缆、吊杆．考虑到活载与恒载相比较小，且活载下主缆线形改变较小，因此程序计算时采用线性分析．下主缆线形改变跨度为1000m+1000m，上缆垂度为50m(垂跨比1/20)，下缆垂度为125 m(垂跨比1/8)．上缆与下缆采用相同截面，主缆及吊杆弹性模量为200GPa，单根主缆截面0．204m2，吊杆截面为3．34×10-3m2，单位桥长重量约为267 kN/m(含主缆及吊杆)，恒载状态下，令上缆承担恒载的36%，下缆承担64%．约束边塔塔顶处各向自由度，中塔顶纵桥向无约束，如图6所示．仍采用图4所示加载模式，为了与未考虑主缆弹性伸长的计算结果作对比，本模型参数与文献［8］中模型参数相同．

图6 双主缆体系图示(单位:m)Fig．6 Alignment of bridge with double main cables(Unit:m)

2．1 桥塔位移

各参数如下:L=1000 m，E=200 GPa，A=2×0．204=0．408m2，ft=50m，fb=125m，nt=50/1000=0．05，nb=125/1000=0．125，每延米桥长重 W=267kN/m，Qt=0．36 ×267=96120N/m，Qb=0．64 ×267=170880N/m．将各参数代入式(22)、(23)中，可得 a=16304N/m2，b=-1．838，代入式(21)中，得

将 L、ft、fb代入上式，并取 δL=0．01 m，可得KC=35818kN/m．

对一跨进行施加均布荷载时，根据式(24)可得u(nt)=0．105，u(nb)=0．593，上缆与下缆截面相同，且上缆与下缆竖向位移相等，根据式(4)，u(nt)、u(nb)反映了均布荷载在上缆与下缆之间的分配比例，当施加均布荷载q时，上缆分配量为qtl=qu(nt)/［u(nt)+u(nb)］，下缆分配量为 qbl=qu(nb)/［u(nt)+u(nb)］．

仍用图4所示的加载方式对模型进行加载．均布荷载值 q取为 10 ～60kN/m．qtl=0．15q，qbl=0．85q．

加载跨主缆内力增量近似为

将 q取值(10、20、30、40、50、60 kN/m)代入上式，得到加载跨内力增量分别为12250、24500、36750、49000、61250、73500kN．塔顶位移量为 δL=，则塔顶位移分别为0．171、0．342、0．513、0．684、0．855、1．026m．

由式(21)求得的KC来求解塔顶位移，并将其作为塔顶位移的理论值与有限元模型的计算结果进行对比，见图7．

图7 中塔塔顶位移Fig．7 Displacement of the mid tower top

2．2 主缆内力变化

非加载跨主缆内力变化可通过荷载在上缆与下缆之间的转移量由式(15)求解．

若忽略主缆垂度的变化，则主缆内力改变量如下:

上缆内力增量为

下缆内力减小量为

荷载转移量qt的求解表达式中含δL，此处仍使用前面求得的δL理论值求解qt，分别将δL的不同取值(0．171、0．342、0．513、0．684、0．855、1．026 m)，代入式(15)中，可得到荷载转移量分别为2．794、5．588、8．382、11．176、13．970、16．765kN．

将荷载转移量代入式(32)、(33)，可求得上缆与下缆水平力的改变量 δHt、δHb．恒载状态下，上缆承担恒载的36%，下缆承担64%，W=267kN/m，可求得上缆、下缆水平力理论值分别为:Ht=240．3 kN，Hb=170．88kN．

与文献［8］中未考虑主缆弹性伸长时的结果相比，图8(a)、8(b)所示文中理论值与模型计算之间的误差大大减小．

图8 非加载跨上、下缆水平力Fig．8 Horizontal force of top and bottom cables in unloaded span

此时的误差主要来源于主缆垂度，塔顶发生位移后，主缆垂度相应发生微小的改变，而在计算主缆内力改变时，忽略了主缆垂度的变化．

2．3 加载跨挠度

Et、At已知，在求解桥塔位移时已求得u(nt)=0．105，qtl=0．15q，b=-1．838，加载跨施加均布荷载 q，q 取值为10、20、30、40、50、60kN/m 时，δL 的理论值已求得，将各参数分别代入式(30)可得，加载跨挠度分别为 0．489、0．979、1．468、1．957、2．447、2．936m，如图9 所示．

图9 加载跨跨中挠度Fig．9 Middle span deflection of the loaded span

从图9可以看出，文中的理论值与模型计算值之间非常接近，由此证明了文中求解加载跨挠度方法的可行性．文中采用的模型为两跨，若桥跨数量多于两跨，则中间桥跨的挠度会受到两侧桥跨的影响，在求解桥塔位移时会更加复杂，桥跨较多情况下加劲梁最大挠度的求解方法仍需进一步研究．

2．4 结果分析

采用有限元模型对桥塔位移、主缆内力及加载跨加劲梁挠度进行了计算，结果与文中理论值非常接近，由此可以看出，在考虑了主缆弹性伸长后，运用上缆与下缆在竖向变形协调的条件下推导的双缆体系对桥塔的约束作用式(21)、荷载在上缆与下缆之间转移量的关系式(15)、加载跨挠度的计算式(30)均有较高精度．

在对桥塔位移及非加载跨主缆内力的求解中，文中理论值与模型计算值之间存在微小差异，这主要是因为，加载跨主缆内力增量及非加载主缆内力变化均是由变形之前的主缆线形计算得出，而加载后主缆线形发生了改变，因此理论值与模型值之间存在着一定的误差．

从计算结果可看出，双缆体系在其中一跨受到均布荷载时，其塔顶位移量与挠跨比都较小，均布荷载为40 kN/m时，加载跨挠度约为2 m，挠跨比为1/500，由此可见双缆体系结构的整体刚度较高．

由式(21)可以看出，双缆体系对于桥塔的约束刚度受到恒载在上缆与下缆之间的分配比例、主缆的截面参数(弹性模量、面积)、上缆与下缆的垂度、跨长的影响，因此与传统悬索桥体系主缆的约束有显著差异．

3 结论

文中研究了双缆体系对桥塔的顺桥向约束刚度，给出了求解双缆对桥塔约束刚度、荷载在上缆与下缆间的转移量以及加劲梁挠度的解析式，并与有限元结果进行对比，证明了公式的准确性．研究发现双缆体系对桥塔的约束作用原理与传统悬索桥体系明显不同，受到的影响因素较多，主缆截面参数、恒载在上缆与下缆的分配比例、主缆的垂跨比及跨长等均能影响双缆的纵桥向约束刚度．与传统悬索桥体系相比，双缆体系能够提供强大的顺桥向约束，在对其中一跨施加均布荷载时，加劲梁挠跨比较小，双缆体系结构刚度较大．研究还发现，加载跨加劲梁挠度可以分为3部分求解:荷载转移引起的主缆挠度、塔顶位移引起的主缆挠度以及均布活荷载引起的主缆挠度，文中给出了相应的求解公式．

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