聚碳酸脂本构方程及其在鸟撞风挡仿真中的应用*

韩强 于鹏 姚小虎† 臧曙光 李志强

(1．华南理工大学土木与交通学院，广东广州510640;2．中国建筑材料检验认证中心有限公司，北京100024;3．太原理工大学应用力学与生物医学工程研究所，山西太原030024)

聚碳酸脂(PC)是一种高聚物有机玻璃材料，在国防和民用领域有着广泛的应用．众所周知，聚碳酸脂类高聚物材料对应变率和温度较为敏感，因此在建立其本构方程时，必须要考虑温度和应变率效应．Mulliken等［1-7］建立了PC的三维弹-粘塑性本构模型，考虑了温度和应变率效应，认为PC在不同应变率和不同温度下所表现出的力学性质是由其内部分子键之间的相互运动所决定的．Zaïri等［8-9］则建立了PC材料在大变形下的各向异性损伤本构方程，并在结构损伤方面进行了深入的研究．然而Mulliken和Zaïri等提出的本构模型过于复杂，在工程上应用得并不广泛．王礼立等［10-11］提出了朱-王-唐本构模型，用于描述PC材料在不同应变率下的非线性弹性和粘弹性响应．虽然在弹性阶段理论值能够与实验值吻合得较好，但是由于本构方程没有涉及材料的塑性阶段，因而对材料力学性能的表征并不完整．文中基于Instron静态试验和SHPB(霍普金森压杆)动态试验，利用Johnson-Cook(J-C)本构模型，并使用参数识别法和最小二乘法，确定了适合于聚碳酸脂的动态本构方程．由于本构方程形式简单，对工程领域的应用有着十分重要的意义．为了验证本构方程的合理性，将其用于描述飞机风挡材料，进行了鸟体撞击风挡的数值仿真，并将计算值与实验值进行了对比．

1 聚碳酸酯的静态和动态试验

Instron和SHPB试验可以用于确定材料在不同应变率下的应力-应变关系、屈服应力的率相关性以及屈服后的力学性能．SHPB实验装置的核心部分由撞击杆(子弹)、入射杆、透射杆组成，试件放置在入射杆和透射杆之间．当子弹撞击入射杆时，在入射杆中会产生压力脉冲，当脉冲到达试件时，一部分被界面反射，一部分穿过试件透射到透射杆中，通过测定反射、透射脉冲的大小，可以得到所测材料的动态应力应变关系．为了得到PC材料不同应变率下的应力-应变曲线，一共进行了5组试验，其中2组Instron静态压缩试验(每组5个试件，加载速度分别为0．001、1 mm/min)，3组 SHPB 试验(每组5个试件，空气弹撞击速度分别约为10、17、25 m/s)．实验在室温条件下进行，所有试件均为圆柱形，直径为8．5mm，厚3mm．

对每组实验的5个试件的实验结果取平均值，并用自编的程序对实验数据进行处理后，可以获得PC材料在不同应变率下的真实应力-应变曲线，如图1所示．

图1 PC在不同应变率下的真实应力-应变曲线Fig．1 PC true stress-strain curves in different strain rates

从图1中可以看出，随着应变率的升高，PC材料的屈服应力逐渐增大，虽然不同应变率下的屈服应力不同，但是试件的应力-应变曲线在进入塑性阶段后保持了同一趋势，这一现象对本构方程参数的拟合有着重要的意义．另外，虽然在高应变率(˙ε＞1000s-1)和低应变率(˙ε≤1s-1)下，PC的弹性模量有所差异(这是由于高、低应变率下所使用的实验仪器不同，实验原理也不相同．并且在SHPB试验中，PC在弹性阶段并未达到动态平衡，而Instron试验过程中，材料基本处于准静态，因此弹性模量会有所差异)，但是在同一量级应变率条件下，弹性模量差别不大．基于这一点，在考虑本构方程时，将忽略其弹性范围内的应变率效应．

2 聚碳酸酯J-C本构模型以及本构参数的确定

J-C本构方程是一种刚塑性本构方程，它主要用于表征材料进入塑性变形阶段之后的力学性能．由于PC材料通常应用于抗冲击的工程环境，人们通常关心的是PC材料在冲击载荷作用下进入塑性阶段后的应力应变情况，所以用J-C模型来表述PC本构是比较合适的．J-C的本构方程为

式中，参数 A 、B、C、n、m 为材料常数，εp为有效塑性应变，˙ε*=˙ε/˙ε0为等效塑性应变率，˙ε为塑性应变率，˙ε0为准静态下的参考应变率，通常可以取10-3s-1或者1 s-1，T*为材料的当前温度，T*=(T-Troom)/(Tmelt-Troom)，Tmelt为材料的熔点，Troom为室温．下面通过SHPB和Instron得到的试验数据，确定本构方程(1)中的材料常数．具体步骤如下:

(1)实验是在室温条件下进行的，因此有TTroom=0，则有T*=0，式(1)转化为 σ =(A+)·(1+Clnε˙*)．

(2)确定常数A和B时，令参考应变率ε˙0=1s-1，同时在图1中选择应变率为ε˙=1 s-1的实验曲线，这里近似地认为材料的塑性应变率等于平均应变率．因此有lnε˙*=0，则式(1)化为 σ=(A+)．取εp=0，即PC材料的屈服点，则有σyield=A，从实验数据中可以读出σyield=A=84MPa．拟合参数B、n可得到 B=3328 MPa、n=3．1456．拟合误差分别为3．2%和 2．7% ．

于是，可以得到PC室温下的J-C本构方程，其表示式为

图2是式(2)J-C本构理论曲线与实验曲线的对比，不难发现，在低应变率下理论值与实验值吻合较好，在高应变率下两者有一定的差异．这主要是由于PC类聚合物材料通常会伴随应力软化现象，J-C本构模型虽然能够很好地表征材料的强化阶段，但却不能很好地表征材料的软化现象，这是J-C本构模型自身特点所决定的．尽管如此，在高应变率下的理论屈服应力与实验屈服应力仍然吻合得较好．

图2 不同应变率下J-C本构曲线与实验曲线的对比Fig．2 Comparison between the experimental and J-C constitutive model results in different strain rates

3 数值仿真

为了进一步验证PC材料J-C本构方程的合理性，应用本构方程(2)，进行了鸟体撞击飞机风挡的数值仿真，并将计算值与实验值进行了比较．

3．1 计算模型

采用LS-DYNA软件对鸟体撞击风挡进行数值仿真，风挡模型采用与实验相同的形状和尺寸(如图3所示)，实验按照飞机风挡抗鸟撞击实验标准GJB-2464—95进行．风挡模型由14 702个单元组成，其中包括梁单元、壳单元和实体单元，风挡下边缘的边界条件取为固支．为了提高计算效率，采用SPH(光滑粒子流体动力学)算法进行计算，鸟体模型由节点组成，节点数为7533，形状为圆柱形，直径为120mm，厚度为150mm．

图3 鸟体和风挡的有限元模型Fig．3 Finite element model of bird and windshield

为了验证文中确定的PC材料的J-C本构模型，风挡采用LS-DYNA中的*MAT_SIMPLIFIED Johnson-Cook model材料模型描述，参数为式(2)中材料常数，如表1所示．鸟体选用弹性流体材料，即*MAT_ELASTIC_FLUID描述，密度为950 kg/m3，体积模量为25GPa．

表1 PC风挡J-C本构模型参数Table 1 Parameters of PC windshield J-C consti tutive model

3．2 计算结果

计算时选择鸟体速度为562 km/h，撞击位置为风挡中点，计算风挡中线前1/3点的位移时程曲线，并与实验结果进行对比．风挡的Von Mises应力云图如图4所示，与实验的对比结果如图5所示．

从图4中可看到，鸟体撞击风挡瞬间(如图4(a)所示)，会产生很大的冲击力，撞击点的应力最大，而由于撞击产生的冲击波，导致风挡中的应力分布不均匀．随着撞击过程的进行(如图4(b)、(c)所示)，与风档中线呈45°方向的应力逐渐增大，并向风挡两侧扩散．当鸟体发生最大流变时(如图4(d)所示)，风挡的应力达到最大值，之后便开始卸载，由于应力波的反复叠加，导致风挡的应力分布复杂化．这些现象与实验过程中所观察到的现象是一致的［12-15］，并且从图5中可以看出，数值计算结果与实验结果得到了较好的吻合，这也证明了用J-C本构模型描述PC材料力学行为的合理性．

图4 风挡在不同撞击时刻的Von Mises应力云图Fig．4 Von Mises stress distribution of the windshield during the impact process at different time

图5 风挡中线前1/3点处的位移时程曲线计算值与实验值的对比Fig．5 Comparison of the displacement-time curve of the 1/3 point of midcourt line in the front surface of the windshield

4 结论

聚碳酸脂(PC)材料是一具有应变率相关性的高聚物材料，因此选用J-C这一形式简单同时包含率相关性的本构方程来描述PC的力学特性非常合适．基于Instron静态试验和SHPB动态试验，利用JC本构模型，并通过参数识别和最小二乘法确定了聚碳酸脂的本构方程，将其应用于鸟体撞击飞机风挡的数值仿真，并与实验结果进行了对比，得到了较为理想的结果，从而证明了这一本构方程的合理性．

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