永磁同步电机分数阶建模与实验分析*

余伟 皮佑国

(华南理工大学自主系统与网络控制教育部重点实验室∥自动化科学与工程学院，广东广州510640)

分数阶微积分理论建立至今已有三百多年的历史，由于各种客观条件限制，早期主要侧重于理论研究，近年来在很多领域已经开始应用分数阶微积分学理论．在自动控制领域出现了分数阶控制理论等新的分支，如 Oustaloup等［1］提出了 CRONE控制器;Tenreiro［2］研究了分数阶数字控制系统．分数阶系统已成为控制界关注的一个热点．

研究表明［3］:实际电感和实际电容在本质上是分数阶的，需建立相应的分数阶模型来描述它们的电特性．Jonscher指出［4］:整数阶电容在实际中并不存在，这主要是由于构成电容的电介质材料展示出分数阶特性，导致整数阶电容的容抗形式违反了因果关系．用传统的整数阶模型已不能准确描述这些对象，现有研究表明，采用分数阶模型处理此类问题具有显著优势［5］．系统辨识直接基于输入输出实验数据建立对象的数学描述，在分数阶系统建模方面具有良好的应用前景．

在电机控制领域，已有大量采用分数阶控制器并获得更好控制性能的报道［6-7］．电容和电感这些储能元件是分数阶的，因此采用整数阶模型描述永磁同步电机不够精确．文献［8］中对永磁同步电机(PMSM)建立分数阶数学模型，从仿真角度研究混沌动力学特性，但目前还未见从实验角度对永磁同步电机分数阶建模的相关报道．文中首先提出永磁同步电机的一种分数阶模型结构;然后用伪随机信号激励到永磁同步电机实验装置进行辨识实验，将得到的实验数据采用系统输出误差辨识算法，对分数阶模型进行参数估计;最后对永磁同步电机的分数阶和整数阶模型，采用同一PI控制器设计准则，通过实验比较，说明分数阶模型比整数阶模型能更精确地描述永磁同步电机的本质．

1 永磁同步电机分数阶模型

根据电机统一理论，多相电机可以等效为两相电机．三相永磁同步电机经过变换以后，在d轴电流为零的控制策略下，可以等效为一台直流电机．直流电机分为从电压到电流和从转矩到转速两个环节．因此，在理想数学模型，即忽略铁芯饱和不计涡流和磁滞损耗等条件下，永磁同步电机传统的整数阶传递函数［9-10］可表示为

式中，T为时间常数，K为系统增益．由于目前为止，分数阶微积分还没有普适的、统一的物理意义和几何解释，所以文中将永磁同步电机分数阶建模与分析法和实验法相结合，在用分析法得到永磁同步电机整数阶数学模型的基础上，考虑实际永磁同步电机中电容和电感特性也是分数阶的事实，提出永磁同步电机的分数阶数学模型:

下文将对永磁同步电机进行辨识实验，然后进行参数估计，增益K和时间常数T由传统辨识方法得到，而分数阶阶次ζ和ϑ需用分数阶模型的辨识算法得到．

2 分数阶模型输出误差辨识算法

分数阶模型Gζ，ϑ(s)的状态空间表达式用两个分数阶积分算子 Iζ(s)和 Iϑ(s)表示:

定义θT=［Kζ ϑ］，θ^为参数阵列 θ的估计值．然后给出θ^和u(t)，就可以仿真如式(3)所示的状态空间模型，得到

图1 输出误差辨识算法Fig．1 Output-error identification algorithm

采用Marquardt的迭代算法得到^θ的精确值［12］:

式中:J'θ为梯度为海赛函数为输出灵敏度函数，;为监督函数．

3 系统辨识和实验验证装置

在辨识实验之前，永磁同步电机首先运行在稳定常态，经过一定时间后加入伪随机信号到永磁同步电机．伪随机信号必须能够激励永磁同步电机速度伺服系统的全部特性．这里使用的三相永磁同步电机型号为三洋P10B13100BXS，主要参数如下:机电时间常数0．0059 s，额定转速2000 r/min，额定转矩4．7N·m，转矩常数1．27N·m．图2是永磁同步电机辨识实验框图．图3是永磁同步电机辨识和验证实验装置，其中控制板是基于美国德州仪器公司，型号为TMS320F2812的DSP芯片，在实验验证中，速度闭环控制的反馈信号由编码器的输出得到．

图2 永磁同步电机辨识实验框图Fig．2 Block diagram of experiment for the PMSM identification

图3 辨识和验证实验装置Fig．3 Experimental setup for identification and verification

选择伪随机信号作为辨识信号的一个原则是:实验信号的频谱能完全覆盖待辨识系统的全部重要工作频率．这里，需要确定实验信号的时钟周期Δ和序列长度Np，它们满足以下式子［13］:

式中，fM为系统截止频率，为了估计截止频率，给系统施加不同周期的矩形信号，并记录输出响应．当矩形波的周期减小到某一数值时，系统对此激励不再产生反应，这个周期的倒数可以作为系统截止频率的近似值．图4(a)所示为输入周期0．0125 s、电压幅值为310V的矩形波，图4(b)为永磁同步电动机的输出响应．由此得到，fM约为80Hz．Ts为过渡过程时间，约为0．2 s．由此可以设计出伪随机信号周期Δ =0．003s，序列长度 Np=127．

图4 永磁同步电机截止频率实验结果Fig．4 Results of cut-off frequency experiment of PMSM

4 辨识结果

首先辨识式(2)中的开环增益K和时间常数T，此处T是机电时间常数，可查知 T=0．0059 s．开环增益K从永磁同步电机开环速度系统阶跃响应中得到，如图5 所示，K=6．8251．

图5 永磁同步电机单位阶跃响应Fig．5 Unit step response of PMSM

设计时钟周期 Δ=0．003 s和序列长度Np=127的伪随机信号，它的频谱能完全覆盖待辨识的永磁同步电动机速度系统的全部重要工作频率．图6是输入永磁同步电机的伪随机信号和输出响应．

图6 永磁同步电机辨识实验结果Fig．6 Results of identification experiment of PMSM

由图6所示伪随机激励永磁同步电机的实验结果，取M=300个输入和输出数据对．采用前述的输出误差辨识算法，利用 Gζ，ϑ(s)的状态空间表达

式(3)，由式(7)得到灵敏度函数

这里，ω'1=10-4rad/s和 ω20=104rad/s．取20 个相位超前滤波器来逼近分数阶积分器．每个灵敏度函数使用Matlab中的lsim指令计算，它必须知道每个参数的值，最后算出结果 ζ=0．8574，ϑ =0．7476．

5 实验验证

为了证明辨识得到的永磁同步电机速度系统分数阶模型比整数阶模型更准确，采用同一PI控制器设计准则，通过实验公平比较．图7所示是实验验证框图．

图7 实验验证框图Fig．7 Block diagram of experimental validation

设定参考速度ω*r=600 r/min，用来比较的 PI控制器采用以下式子:

式中，Kp为比例系数，Ki为积分系数，给定截止频率ωc=80rad/s和相位裕度φm=60°．为了满足系统稳定性和鲁棒性的要求，由截止频率和相位裕度的基本定理［14］得到关于开环传递函数的相位和幅值的准则如下［15］:

(1)相位裕度准则

(2)增益准则

式中，P为控制器和电机构成的系统对象传递函数，C为控制器传递函数，G为电机传递函数．对永磁同步电机整数阶模型，解方程组得到整数阶模型PI控制器的比例系数Kp1=87．9941，积分系数 Ki1=8．2790．同理对永磁同步电机分数阶模型，解方程组得到分数阶模型PI控制器的比例系数Kp2=529．0923，积分系数 Ki2=56．2825．图8 是永磁同步电机整数阶模型和分数阶模型与对应设计出的PI控制器构成的系统速度阶跃响应．从实验结果可看出，由永磁同步电动机的分数阶模型设计出的PI控制器，系统的调节时间为0．08s，而由整数阶模型设计出的PI控制器，系统的调节时间为1．38s，均无超调量，说明所提出的永磁同步电动机分数阶模型比整数阶模型更加逼近实际对象．

图8 两种模型的速度阶跃响应Fig．8 Speed step responses of two different models

6 结语

文中对永磁同步电机分数阶建模，结合分析法和实验法，由传统整数阶模型提出一种分数阶模型，采用外部输入伪随机信号进行系统辨识实验，利用实验数据，采用输出误差辨识算法对提出的分数阶模型进行参数估计．由辨识得到的永磁同步电机分数阶模型和传统的整数阶模型，通过幅值裕度和穿越频率准则设计PI控制器，在相同的实验条件下进行比较，验证了分数阶模型比整数阶模型能更精确地描述永磁同步电机的本质．

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