一个半离散单调核的Hilbert型不等式

黄臻晓

(湛江师范学院基础教育学院，广东遂溪524300)

若 an，bn≥0，0 ＜∞，则有以下含有最佳常数因子的离散的Hilbert型不等式［1］:

以上两类不等式是分析学的重要不等式，人们不断推广它们［2-7］．对于半离散、齐次核的 Hilbert型不等式，有以下结论［8］:若0 ＜Σ∞n=1a2n＜∞，则有

本文引入2个参数，给出一个新的半离散且单调核的Hilbert型不等式及其等价式．它是式(1)的一个最佳推广．

1 引理

引理1 设A＞-1，0＜λ≤2，定义权函数和权系数如下:

则有以下不等式:

证明 作变换t=x/n，有

所以式(4)成立．

证明 由带权的Hölder不等式和式(4)，有

所以式(5)成立．类似地，由Hölder不等式和式(2)～(4)，有

所以式(6)成立．

2 主要结果

这里的常数因子kλ依引理1定义，且kλ，kpλ和kqλ均为最佳值．

证明 由逐项积分定理，I有2种表示．由引理2和条件知，式(7)取严格不等号，所以式(10)成立．由 Hölder不等式，有

由式(10)得式(9)．反过来，设式(9)成立．取an=，根据式(9)，有

根据式(7)和条件易得 J1＜∞．如果 J1=0，则式(10)显然成立;如果J1＞0，则式(9)所需的条件都具备，上式取严格不等号，且有

所以式(10)成立，因此式(9)和式(10)等价．

同理，根据条件，式(8)取严格不等号，所以式(11)成立．由 Hölder不等式，有

所以由式(11)可知式(9)成立．反过来，设式(9)成立．取

则由式(9)，有

由式(8)和条件可得J2＜∞．如果J2=0，则式(11)显然成立;如果J2＞0，则式(9)所需的条件都具有，所以上式取严格不等号，且有

所以式(11)成立，从而式(9)和式(11)等价．因此式(9)、(10)与式(11)都等价．

另一方面，由递减性和Fubini定理，又有

由式(12)及式(13)，有

再由Fatou引理，有

所以k=kλ是式(9)的最佳值．由等价性易知式(10)和式(11)的常数因子也是最佳值．证毕．

评注 (1)当p=q=2，λ=1，A=0 时，式(9)变为式(1);式(10)、(11)变为与式(1)等价的Hilbert型不等式:

(2)当 p=q=2，λ =1，A=1 时，式(9)变为:

致谢 作者衷心感谢杨必成教授的指导与帮助．

［1］YANG Bicheng．On a relation between Hilbert's inequality and a Hilbert-type inequality［J］．Appl Math Lett，2008，21:483-488．

［2］杨必成．算子范数与Hilbert型不等式［M］．北京:科学出版社，2009．

［3］黄臻晓，杨必成．一个含参数的零齐次核的Hilbert型积分不等式［J］．武汉大学学报:理学版，2011，57(3):241-244．

［4］黄臻晓．一个具有混合核的新的Hilbert型积分不等式［J］．数学的实践与认识，2010，40(11):192-197．

［5］黄臻晓．一个-4齐次核的Hilbert型积分不等式［J］．华南师范大学学报:自然科学版，2009(2):20-23．

［6］杨必成，陈强．一个半离散且非单调核的Hilbert不等式［J］．吉林大学学报:理学版，2012，50(2):167-172．

［7］杨必成．关于一个半离散的Hilbert不等式［J］．汕头大学学报:自然科学版，2011，26(4):5-10．

［8］杨必成．一个半离散的Hilbert不等式［J］．广东第二师范学院学报，2011，31(3):1-7．