一个边际替代率的教学案例及其启示

2013-08-15陈仁新

宿州教育学院学报 2013年2期

陈仁新

（湖南科技大学商学院湖南·湘潭 411201）

边际替代率是微观经济学和国际贸易学等经济学类课程中的一个重要概念。以国际贸易理论而论，边际替代率是理解比较优势理论、绝对优势理论以及现代贸易理论中关于规模经济的理论的一个基础性概念。但笔者在教学中发现，学生对边际替代率的理解比较肤浅。所以，根据古代算题“百钱百鸡”问题，设计了一个“聪明女儿”的故事，作为教学案例。通过对该案例的运用与讨论，加深学生对边际替代率的理解。

一、边际替代率及其教学案例

（一）边际替代率的概念

边际替代率（Marginal rate of substitution）是指消费者在保持相同的满足程度或维持效用不变的情况下，增加一单位某种商品的消费数量时所需要的放弃的另一种商品的消费数量。

它衡量的是，从无差异曲线上的一点转移到另一点时，为保持满足程度不变，两种商品之间的替代比例。边际替代率是一个点概念，即其在无差异曲线上的各点取值不同。在无差异曲线上任一点的边际替代率等于该点上无差异曲线的斜率的绝对值。

边际替代率取值为负，是因为要保证效用水平的不变，在增加一种商品X消费数量的同时，必须减少对另一种商品Y的消费数量。随着对X消费数量的不断增加，由于该商品所能带来的边际效用不断减少，增加一单位的X商品所能替代的Y商品的数量不断减少。也即消费者为了得到一个单位的X所愿意放弃的商品Y的数量不断减少。这也就是边际替代率递减规律。

但对于完全替代的两种商品，它们之间的边际替代率为一常数，这时无差异曲线为一直线，斜率不变。这种情形表明消费者关心的是两种商品的总数量，而非其差异。下面的案例就是这种情形。

（二）教学案例：“聪明女儿”的故事

从前一个妈妈很勤劳，很爱养鸡。一天，她对她女儿说，“女儿啊，现在市面上有小鸡可买了，你给我去买一些鸡回来。”妈妈交给女儿100元钱，要她买100只鸡回来。当时，市面上的公鸡一只值5元钱，母鸡一只值3元钱，小鸡呢，三只才要1元钱。但是妈妈要求不能只买小鸡，因为她觉得，当时公鸡和母鸡的价格也很合算。这个女儿很聪明，知道虽然只有100元钱，但是妈妈心里自然愿意要多买大鸡的。为了能够多买大鸡，她当然是把这100元全花掉，然后很快就算出来了每种鸡应该购买的数量。别小看这个题，这可是曾经难住过好多人的古代算题。当时的人也不像现代人懂代数，全凭心算。就算现代人，以中学数学教学内容而言，也是很难解答这个问题的，因为这里有三个未知数，但是只有两个条件，属于“不定方程”的内容，不在中学教学内容的基本要求中。但我们追踪一下中国传统算法，就会知道，聪明女儿已经懂得经济学里关于边际替代率的原理，原来是使用了经济学原理在解题呢。

二、对教学案例的分析与运用

（一）教学案例中的经济学概念

这个教学案例中主要使用两个经济学概念，一是边际替代率，另一个是约束条件下的决策优化问题。

首先，因为预算约束是已知的，一共就100元钱，为了能让妈妈满意，尽量多买大鸡，当然是把钱全花掉。这是约束条件下的决策优化问题。

其次，如果没有要求买100只鸡的话，这是一个幼儿园小朋友都会算的问题，就买20只公鸡得了，正好100元。但如果要求买100只鸡，怎么办呢？女儿是这样想的，100元可以买20只公鸡，但是，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡3只1元，母鸡和小鸡便宜一些，按照价值相等的原理，把其中的部分公鸡换成母鸡和小鸡，这样鸡的数量就会增加，就可能凑成100只鸡。这就是边际替代的原理，其中需要使用边际替代率的概念。

（二）教学案例的运用

我们来追踪一下聪明女儿的解法。

首先，由于公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡3只1元，可以得知，公鸡对小鸡的边际替代率是15，母鸡对小鸡的边际替代率是9。换言之，把一只公鸡换成小鸡，可换15只；把一只母鸡换成小鸡，可换9只。所以，在把一只公鸡换成15只小鸡时，买鸡的钱没增加，但鸡的数量增加了14只；而把一只母鸡换成9只小鸡时，买鸡的钱数同样也保持不变，但鸡的数量增加了8只。把公鸡换成母鸡的话鸡的数量也同样有增加，由于公鸡对母鸡的边际替代率是5／3，所以可以用3只公鸡换5只小鸡，这时买鸡的总钱数（也就是第一段边际替代率概念中的总效用）同样也没有变化，但鸡的数量增加了2只。需要注意的是，我们这里的边际替代率都是常数。

其次，我们在满足“100元钱”这个约束条件下，思考如何满足“100只鸡”的问题。

我们从先买20只公鸡出发，通过把部分公鸡换成母鸡和小鸡来凑成100只鸡。由于100元钱是买20只公鸡，鸡的数量离要求的100只还差80只。让鸡的数量增长最快的办法是把公鸡换成小鸡。一只公鸡换成小鸡的话可以增加14只鸡，所以首先把5只公鸡换成75只小鸡，这时公鸡15只，小鸡75只，鸡的数量增加70只，达到90只，还应该增加10只。

接下来，让鸡的数量增长次快的办法，是把母鸡换成小鸡。一只母鸡换9只小鸡，鸡的数量增加8只，还差2只；把3只公鸡换成5只母鸡，正好增加2只，100只鸡凑成。当然，合理的说法是，先把3只公鸡换成5只母鸡，这时鸡增加2只，再把1只母鸡换成小鸡，这时再增加8只，凑成100只。这时，公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。

在“公鸡15只，小鸡75只”时，我们当然也可以考虑用让鸡的数量增长最慢的办法，即一次交换中用3只公鸡换5只母鸡，每次增加2只，只要做5次交换就能增加10只，从而满足100只的要求。这时，母鸡25只，小鸡还是75只，公鸡0只！如果没买公鸡，妈妈可能觉得不满意，但这也满足“100元钱100只鸡”这两个条件啊。

在“公鸡15只，小鸡75只”时，我们还可以考虑做2次、3次或者4次“用3只公鸡换5只母鸡”的交换。分析如下：

（1）考虑做2次“用3只公鸡换5只母鸡”的交换。用6只公鸡换10只母鸡，鸡数增加4只，还差6只。6是14和8的差，所以再用1只公鸡换成15只小鸡，并用9只小鸡换1只母鸡。这时公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只。

（2）考虑做3次“用3只公鸡换5只母鸡”的交换。用9只公鸡换15只母鸡，这时鸡数增加6只，还差4只。 4＝14×2－8×3，所以可以这样做，用 2 只公鸡换 30只小鸡，再用27只小鸡换3只母鸡。这时，公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只。

（3）考虑做4次“用3只公鸡换5只母鸡”的交换，用12只母鸡换20只母鸡，这时鸡数增加8只，还差2只，继续把剩下的3只公鸡换成5只母鸡，公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只。

这样，我们知道，所有可能的答案是四组：公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；或者公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；或者公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；或者公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只。聪明女儿肯定是找到了这四组答案中的一个，而且善解人意的她很可能知道妈妈对下蛋母鸡的偏爱，她买的是4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡。

三、启示

通过“聪明女儿”的故事，我们得到以下几点启示：

（一）传统算题中含有丰富的经济学智慧，值得我们去开掘

“百钱百鸡”问题是我国古代数学家张丘建所编的题，见于他所著的《算经》，原文是：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？”我们将其改编为一个“聪明女儿”的故事，运用边际替代率、规划优化等经济学概念，将其非常巧妙地解答出来。古人设题，通常只附有非常简明的解法，具体他是如何想的，后人难以知道。比如张丘建自己所拟的解答是：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六；又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三；鸡雏八十一，值钱二十七；又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四，值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”其解法可谓语焉不详。笔者曾经学习《中算导论》课程，得知中国传统算法不仅讲究解题技巧，同时讲究解题思路的实际意义，所以如果所设题目涉及经济与日用生活时，其解法通常就具有经济学意义。

（二）案例教学对培养经济学运用能力具有至关重要的意义

边际替代率是一个艰深的经济学概念，是一般均衡论和帕累托最优理论的基础概念，在很多经济学课程中都有运用。西方经济学家倾向于运用越来越深奥的高等数学来进行阐述，不要说很多学生学习了之后感觉云里雾里，就是一些老师也感觉现代西方经济学者的论著有如天书。原因可能还在于我们对这些概念运用得太少。通过案例讨论来运用经济学概念、培养运用经济学原理解决实际问题可能是一个方便的法门。以“聪明女儿”的故事而言，我们把“公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡3只一元”解释成“公鸡对小鸡的边际替代率是15，母鸡对小鸡的边际替代率是9”，可谓是对边际替代率的简单、形象的解释；运用边际替代的办法求解，可谓是深合人们日常计算的实际，非常巧妙而实用。“百钱百鸡”问题也可以从先满足“百鸡”再通过边际替代的办法求解，可以想象为一个只想从妈妈那里捞点好处的儿子去帮妈妈买鸡的故事，首先想到的是买99只小鸡和1只母鸡，以便省点钱来买零食，但当妈妈要求买鸡的钱必须满100元时，只好通过用公鸡、母鸡换小鸡的办法来增加鸡的价值，最终满足100元的要求，同样也可以很方便很巧妙的解出来，在此就不再赘述。