初中平面几何辅助线的学习探讨

2013-08-15王小迪

中国校外教育 2013年25期

◆王小迪

(黑龙江省大庆市世纪阳光学校)

通过作辅助线来解几何题，本身就是平面几何教学的难点，许多学生感到很茫然，不知道从何下手去作辅助线解题，尽管教师讲得淋漓尽致，但老师一放手，遇到新题型，有的学生又懵了，有的干脆乱画辅助线，像走迷宫一样绕不出来。那么，究竟怎样进行辅助线的教学?教学活动应借助开放、互助的教学形式与方法、手段，首先要激发学生探究几何图形的浓厚兴趣，让他们在兴趣的支配下主动去反复探究，不断总结经验，积累解题技巧。

一、添加适当的辅助线

当题目的题设和结论之间的逻辑关系不太明朗、甚至“彼此孤立”时，可以通过添加适当的辅助线，把题没条件中隐含的有关性质充分显现出来，扩大了已知条件，从而有利于迅速找到题目的最近切入口，进而推导出题目的结论。

例1.D是ABC的边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，ED的延长线交AB于点F，求ED∶EF

思路一:过C作AB的平行线变DE于G，由D是AC的中点可得FD=DG，由CE=BC可得FG=GE，从而得ED:EF=3∶4

思路二:过D作BE的平行线交AB于I，类似法一得ID∶BC=1∶2，ID∶BE=1∶4，从而得 ED∶EF=3∶4

思路三:过D作AB的平行线交BE于H，易得BH=HC=1/4BE，得ED∶EF=3∶4

二、用平移、旋转、对称法添加辅助线

平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时，掌握适当的添加辅助线的方法，对于提高学生的解(证)题能力是十分重要的。

1.利用平移添加辅助线

涉及梯形一类问题，往往将梯形的腰或对角线平移，构成平行四边形和三角形。

例2.梯形ABCD中，DCAB，A和B互余，M、N分别是DC、AB的中点，求证:MN=(AB－CD).

分析:将DA平移至ME，CB平移至MF，则构成了□AEMD□BFMC和□EMF，易证EMF是直角三角形，且MN是斜边EF上的中线，则有MN=EF，而EF=AB－CD，当然，还可以通过添加其他辅助线完成，但这样添加比较快捷。

例3.已知梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，ED平分∠ADC，且AD+BC=CD，求证:ECDE，EC 平分∠BCD。

分析:将AED绕点E旋转，使A和B重合，点D落在CB的延长线上，则AED和BEF全等，可得DE=FE;由题条件易知么2=F，则CD=CF，根据等腰三角形三线合一性质可得结论。

涉及正方形有关问题往往将某一三角形绕顶点旋转一定的角度，随着图形的变换，问题就可解决。

例4.正方形ABCD中，M、N在边BC、CD上，MAN=45;求证:MN=MB+ND.分析:将∠AND绕点 A顺时针旋转90°，则和∠ABE重合，可得∠EAN=90°，AE=AN，BE=DN，由∠MAN=45°得∠EAM=MAN=45°，那么 AEMANM，MN=ME=MB+BE=MB+DN.

3.利用对称添加辅助线

在三角形有关线段和、差问题，往往借助角平分线把一个三角形沿角平分线翻折，构造三角形全等，进行等量代换。

例5.已知，等腰直角三角形 ACB中，∠C=90°，AD平分CAD，求证:AB=AC+CD。分析:延长CD到E，使CE=CA=CB，则可证明CAMCEM、CBNCEN，可得:ME=MA，NE=NB，1=A，2=B;所以∠MEN=90°，利用勾股定理:MN=ME+NE=MA=NB。上述两例在添加辅助线问题中也称截长补短。