基于作为教育任务的数学思想方法的再认识

朱海祥

摘要：数学思想方法是数学课程教学的核心内容。从教育任务的角度将思想和方法等隐性知识转化为可操作的显性知识，便于将基本的思想方法更早地分阶段渗透在课堂教学之中。利用任务分析法，提出作为教育任务的数学思想方法的模型：新知探索阶段蕴含的思想方法；策略优化的思想方法；数学抽象的思想方法；模型化的思想方法。

关键词：思想方法；教育任务；数学教学

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1009-4156（2013）05-130-02

一、问题的提出

关于在数学教学中渗透数学思想方法已得到越来越多教师的认可，这一方面是因为高度社会化的发展趋势对数学教育提出的要求；另一方面学生缺乏掌握和应用数学思想方法的方法。义务教育数学课程标准（2011版）明确提出将发展学生的“双基”转为“四基”，其中增加的为基本数学思想方法和基本活动经验，因为具备熟练的基本活动经验，可以更好地体验、发现和利用数学思想方法。笔者在参与观摩和评析一线教师的教学过程中，也发现一些普遍存在的问题，影响学生对数学思想方法的吸收和应用。如学生一般都有预习的习惯，但也会导致预先知道结论，忽略知识形成的过程；对教师的依赖性太强，教师难以把握启发的度和方式，学生缺乏自主学习、自我发现和反思的习惯，虽然在课堂中表现得较为主动热闹，但在关键节点上往往依靠教师，而这正是这节课的精华所在；学生学习数学缺乏内在动机和成就动机，体会不到成功的喜悦；班级里学生的差距过大，关键体现在分析问题的策略和经验；课堂中问题设置缺乏层次性，难以适合不同水平的学生，结果导致两端的学生都在浪费时间；认为思想方法都体现在解题过程中，不重视新知学习过程中具有通性的思想方法。这些问题的症结在于教师对作为教学任务的数学思想方法的理解；如何发现素材中所体现的数学思想方法；以及如何将数学思想方法作为知识点教给学生。

二、作为教育任务的数学思想方法的理解

学期、单元、课时都必须设定三维目标，也就是制定学会、会学和乐学等三方面的任务，其中第二层次指的就是发展学生的数学思想方法，数学思想方法的发现、运用和反思过程直接决定课堂教学的效果，是实现第三层次目标的基础，是在学习数学中能否找到乐趣的关键因素。因此，数学思想方法是数学教学内容的核心，数学课程的其他内容是数学思想方法的重要载体，数学思想方法作为教育任务的完成情况是实现教学目标的关键所在。

从教育任务的角度来看，数学教育者对数学思想方法的认识有不同的观点。结合笔者多年的中小学一线教学观摩和反思，本着提高数学思想方法作为教育任务的可操作性的想法，学生应该具备的数学思想方法分为下面几个方面：新知探索阶段蕴含的思想方法，如观察、比较、猜想、验证等，关注通性和通法，教给学生的是思考问题的方式；策略优化的思想方法，是良好学习方式的重要体现；数学抽象的思想方法，认识事物的本质特征和一般规律；模型化的思想方法，是实际问题数学化的重要过程。中间两个阶段是为了更好地实现第一阶段向第四阶段的转化。在数学课堂中能够学到一般意义上的数学思想方法，并把大量的数学解题实践提炼为数学思想方法，将有助于学生发展数学思维，形成良好的数学认知结构有助于数学观念的形成。

对个体而言，数学思想方法的学习具有过程性的特点，它不具备知识和技能学习的快速性，这也是为什么我们的教学评价要注重过程性，特别在低年级阶段更是如此。如果说数学是一门工具性学科，数学思想方法就是学习数学的工具。一旦掌握了数学思想方法这一工具，再去学习相关的知识，就属于下位学习，下位学习显然更容易操作；另外，掌握作为教育任务的数学思想方法，特别有利于培养学生自主学习的能力，真正地做到教是为了不教。

三、作为教育任务的数学思想方法的模型

（一）新知探索阶段蕴含的思想方法

在平时的教学过程中，往往重视的是运用数学思想方法去解决各种练习题，其实对学生最为关键和缺乏的是数学思想方法的形成过程和思考问题的方式，将数学思想方法作为知识的一部分渗透在教学过程中，帮助学生训练以达到习惯化的程度。学生一旦理解和掌握了数学思想方法，就会形成条件化的知识，学生能迅速、准确地从头脑中检索、提取与任务相关的知识，形成问题与知识之间的丰富联结，并最终选择出解决问题的最佳方案。这就要求我们认识到新知作为数学思想方法载体的重要性，认清知识的来龙去脉和形成过程，因为这是特别有效而又容易被忽略的策略。

新知学习中蕴含的思想方法包含两个层次：一是分析问题的过程中体现出的一般思想方法，如观察、实验、比较、分析、归纳、类比、合情推理等过程；二是支撑这些过程得以实现的数学思想方法，如分类、转化、数形结合、论证推理等。这个过程同时也是发现问题和解决认知冲突的过程。这些思想方法对于个体今后的发展特别有用。通过这些思维过程，还可以逐步地形成集合、对应、符号等基本数学思想，如在认识有理数、实数和复数的过程中，通过加减运算、开方和解方程等步骤，经历观察、分析、类比、猜想等阶段，发现需要对数进行扩充，形成新数，同时又会进一步推理如何定义新数的运算等。

下面以课题为例加以分析：在“游戏规则的公平性”的教学设计中，学生平时对随机现象的观察往往是表面的，而没有涉及数学的本质特征，游戏规则的公平性本质上指的是过程公平而非结果公平。真正地实现这一目标必须让学生经历阅读规则、实验、观察记录、统计分析、猜想、反思、修改规则、发现及简单推理等思维过程，在不完美的过程中找到完善的方法。数学猜想是创造性思维活动，数学教师要向学生逐步介绍数学猜想的方法，在课堂教学中不失时机地运用具备猜想条件的数学问题进行“数学猜想法”训练，培养和激发学生的创新意识和猜想能力。

（二）策略优化的思想方法

策略优化的思想方法是指对方法的比较、选择、融合等过程，这样可以从更深的角度思考和解决问题。数学教育改革鼓励学生独立思考，用自己的方法解决问题，这样在班级群体中就出现了多样化的解决方法，产生合作交流的必要性，通过进一步的优化，比较个体间的思维基础和方式，洞悉方法之间的本质差异，改进自己的数学思想方法，达到真正意义上的反思和提高。数学优化的基础是方法的多样性，而个体的差异性必然会产生方法的多样性，因此，每节数学课中都会渗透优化的数学思想，将优化思想作为教学任务的一部分是缩小个体差异和实施因材施教的最佳途径。在策略优化的过程中，一个有梯度的问题是关键，实现由“标准餐”向“个性餐”的转变，为不同的学生提供适合他们的教育。

在求多边形的内角和的时候，学生通常会想到以多边形上、多边形内或多边形外的一点为端点将多边形分成若干个三角形，通过优化的思想过程会发现这些方法本质上都是转化为三角形来解决的；也有一些学生会想到利用多边形的外角来解决，利用旋转变换的思想发现多边形的外角和为360°，这样也可以求出多边形的内角和。通过再一次的优化，体会整体的思想和方法上的创新，学会从不同角度思考问题。在求代数和时往往把正数和负数分别看成一个整体或者按数位看成一个整体，发现问题的本质。

（三）数学抽象的思想方法

数学教学是数学思维的教学，数学抽象方法是形成高级思维的重要工具，概括是抽象的基础，符号化和形式化是抽象的重要表现形式。任何实际对象只有经过抽象之后，形成数学模型，才具有广泛的适用性。数学抽象有两个层次：一是数学知识形成过程的抽象，即数学化的过程；二是数学方法形成过程的抽象，深化对思想方法的认识。新课改以来，许多数学课上特别重视情境数学活动。强调课堂气氛的营造，却忽略了最关键的一步——抽象的阶段，有去“数学化”的倾向，结果导致许多学生的理解停滞在表象阶段，认知结构紊乱而不成体系，应用时自然无法达到信手拈来的程度。

在几何体和平面图形的认识过程中，我们利用分类的思想从大量的特征中抽象出本质属性，忽略颜色、大小等非本质属性，形成对概念内涵和外延的认知，这是把握和应用概念的基础。运算是数和代数的重要内容，它是形成算法的重要载体，例如，数的加减乘除，辗转相除法求最大公约数，方程组的代入消元法，求根公式和二分法等等，都是逐渐发现和形成作为教育任务的算法思想的中间阶段。

（四）模型化的思想方法

数学是一门关于模式的科学，可以广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，在此过程中处处渗透了模型化的思想方法。相比于解数学应用题，数学建模更能培养学生解决实际问题的能力，发挥数学的教育价值，真正培养学生良好的学习兴趣和习惯。它需要学生自己动手查阅资料，收集数据，做出假设，建立模型，检验应用等过程，这些训练对于学生今后从事任何工作都有重要帮助。

四、小结与思考

数学思想方法作为教育任务的重要组成部分，会给学生的学习生活带来重大的变革，提升教师对数学本质的理解，促进教师专业的发展。一堂课往往新就新在思维过程上，高就高在思想性上，好就好在学生参与活动的深度和广度上。真正掌握了数学思想方法，一方面所有的学习都将成为下位学习；另一方面更可以改变学生的学习习惯，能够开展自主学习，培养数学素养，将新课标提倡的学习方式落到实处。同时，如何在评价和考试中体现学生的数学思想方法掌握程度等，值得更深层次的探究。