二阶脉冲微分方程混合边值正解的存在唯一性

汤 宇

（吉林工商学院基础部，吉林长春 130062）

本文利用格林函数，将微分方程转化成等阶解的积分方程，研究奇异脉冲微分方程二点混合边值问题

这里0

本文根据混合单调算子的不动点定理，考虑奇异脉冲微分方程(1)，约定f(t,u)=q(t)(g(u)+h(u))，t∈(0,1)，并且g∶[0，∞)→[0，∞)，g(y)是连续递增的函数，h∶（0，∞）→（0，∞），h(y)是连续递减的函数。

1 预备知识

令P是Bananch空间E的一个正规锥，并且e∈P，||e||≤1，e≠θ，定义

定义1.1[4]假定A：Qe×Qe→Qe。称A是混合单调算子，如果A对于x是递增的，而对于y是递减的，即对任何y∈Qe，如果x1≤x2，（（x1，x2）∈Qe)，则 A（x1，y）≤A（x2，y），对任何x∈Qe，如果y1≤y2，（（y1，y2）≤Qe），则A（x，y1）≥A（x，y2），称y*是 A 的一个不动点，如果A（y*，y*）=y*.

定理1.1[4]假定A：Qe×Qe→Qe是混合单调算子，并且存在一个常数α∈（0，1），使得坌x，y∈Qe，t∈（0，1）成立，则A存在唯一不动点 x*∈Qe，此外，对坌（x0，y0）∈Qe×Qe，xn=A（xn-1，yn-1），yn=A（yn-1，x

n-1），xn→x*，yn→x*，其中||xn-x*||=莓（1-ra），||yn-x*||=莓（1-ra），r是一个与（x0，y0）有关的常数。

2 主要结论

用 G（t，s）表示边值问题，-u″（t）=0，u（0）=0，0

容易验证 G（t，s）有不等式 G（t，s）≤t，G（t，s）≤s，ts≤G（t，s）成立。

引理2.1 方程（1）有正解当且仅当积分方程

定理2.1 假如存在0＜α＜1，使得

对任意的t∈（0，1），y>0都成立，并且 q∈C（（0，1），（0，∞）），满足则方程(1)存在唯一的正解y*λ。

证明 根据条件（2）令 t-1y=x，则 h（x）≥tαh（tx），因此令 x=1，则有

同理，根据条件(3)可以得到结论

从条件(7)～(8)，对任意的x,y∈Qe，有

对任意 x,y∈Qe，t∈[0,1]，定义

首先说明A：Qe×Qe→Qe，对任何 x，y∈Qe，由(6)有

再由(6)有

因此A是一个好的定义，并且 A（Qe×Qe）∈Qe。另外，对任何 I∈（0，1），x,y∈Qe，有

所以根据定理1.1，方程(1)存在唯一解y*∈Qe使得A（y*，y*）=y*，并且y*是方程的唯一正解。类似地，可以证明下面定理。

定理2.2假如存在0<ɑ<1，使得h（t-1y）≥tαh（y），Ik（t-1y）≥tαIk（y），g（ty）≥tαg（y）对任意的t∈（0,1）,y>0都成立，并且 q∈C（（0，1），（0，∞））满足则方程（1）存在唯一的正解y*。

[1]LakshmikanthamV,BainovDD,SimeonovP S.Theoryofimpulsive differential equations[M].Singapore:World Scientific,1989.

[2]苑成军,文香丹.奇异二阶连续和离散边值问题正解的存在唯一性[J].数学的实践与认识,2008(19):173-180.

[3]苑成军,文香丹.奇异四阶P-Lapacian微分方程边值正解的存在唯一性[J].黑龙江大学自然科学学报,2009,26(2):173-180.

[4]郭大钧.非线性分析中的序方法[M].济南:山东科技出版社,2000.