Logistic回归模型分析应用

2013-08-08蔡俊娟

长春师范大学学报 2013年4期

蔡俊娟

（厦门海洋职业技术学院基础部，福建厦门 361000）

广义线性模型描述一个响应变量的均值与一个自变量的关系，这个关系可以比线性模型中EYi=α+βx复杂得多。很多不同的模型可以表示为GLM，有一种非常有用的GLM就是Logistic回归模型。Logistic回归分析是一种非常有效的处理数据的方法，特别是在医学、社会调查等领域被广泛应用。但是在现有的统计教科书中，一般都只有对Logistic回归模型的简单介绍，并作为中心内容，缺乏有关该模型的详尽分析及深入的讨论。其中文献[3]只对理论部分进行分析，未结合实际应用案例进行解释说明。

1 模型推导[1]

假设响应变量Y1，Y2，…，Yn是独立的，并且Yi·Bernoulli（πi）。我们知道Bernoulli是指数分布族，再假设πi满足

从而我们建立了πi与x之间的关系。在(1)式中，左边是Yi成功胜率的对数。这个模型假定对数胜率是预测变量x的线性函数。那么Bernoulli概率密度函数可以写成如下的指数形式：

对于方程(1)式，我们可以重新写为:

或者是更一般的形式：

2 模型性质

2.1 单调性

由于

所以，从式(5)中我们可以发现，当β是正数时，π（x）严格递增函数；当β是负数时，π（x）严格递减函数；特别地，β是0时，，则为简单的线性回归模型。

2.2 对称性

2.3 优比

我们可以计算一下在x和x+1处可以得到：对于任何x，

则β表示是当x增加一个单位时，成功的对数胜率的相应变化。在简单线性回归模型中，β是当x增加一个单位时，Y的均值的相能变化。接下来，将式(5)两边取指数可以得到：，也就是说，eβ是指x+1处成功的胜率相对于x处成功的胜率的优比，也可以理解为相应于x的单位增量的成功胜率的变化倍数。

3 抢救急性心肌梗死病人能否成功的危险案例

3.1 案例描述

在研究医院抢救急性心肌梗死(AMI)病人能否成功的危险因素调查中，某医院收集了5年里该院所有AMI病人的抢救病史，共190例。其中Y=0表示抢救成功，Y=1表示抢救未能成功而死亡；x1=1表示抢救前已发生休克，x1=0表示抢救前未发生过休克；x2=1表示抢救前发生心力衰竭，x2=0表示抢救前未发生心力衰竭；x3=1表示病人从开始AMI症状到抢救时已超过12小时（即未能及时把病人送往医院），x3=0表示病人从有AMI症状到抢救时未超过12小时。

表1 抢救急性心肌梗死病人能否成功数据表

3.2 本案例的Logistic回归分析结果

利用SPSS软件，对于上述数据进行分析。

3.2.1 模型系数的综合检验

表2 模型系数的综合检验

从表2中，可以发现：模型χ2=21，354，p=0.000＜0.1,按α=0.05水准，认为自变量x1(抢救前是否发生休克)，x2(抢救前是否心力衰竭)，与因变量P(是否抢救成功)的Logistic回归方程有统计学意义。

2.2.2 分类表从表3可以得到，结局为“0”，即抢救成功的患者正确率为90.7%，结局为“1”，即抢救不成功的患者判断正确率为25%。对建模数据总的回判正确率真为69.8%，这说明模型的预测效果是相当不错的，说明该模型较为稳定，尤其是对抢救成功的患者的预测。

表3 分类表a

2.2.3 方程中的变量

表4 方程中的变量

从表4可以发现：x1、x2、x3的Wald值分别为13.356、2.764、5.180，但是再观察这3个变量的P值，x1的P值为0.000(P<0.01)，从而可以得到，按水准α=0.05水准，x1与Y有显著性关系；x2的P值为0.096(P>0.05)，从而可以得到，按α=0.05水准，x2与Y有无显著性关系；x3的P值为0.023(P<0.05)，从而可以得到，按α=0.05水准，x3与Y有显著性关系。3个因素所建立的Logistic回归方程如下：