立体几何中的变与不变的关系问题

叶双能

数学是研究空间形与数的一门学科，既体现了数与形的和谐与统一，又展现了动与静的完美结合，立体几何中的某些问题将这种动静之间的辩证关系得到完美体现，下面以试题的形式谈谈这类问题研究的一般规律.

一、典例分析

例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，给出下列四个命题：

①三棱锥A-D1PC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③直线AP与直线AD1所成角的大小不变；④二面角P-AD1-C的大小不变.

其中所有真命题的编号是（1，3，4）.

解析：（1）∵VA-D PC=VP-ACD = S△ACD ×dP-ACD

∵点P运动的轨迹是线段BC1，而BC1∥平面ACD1，

∴点P到平面ACD1的距离相等；

（2）很明显直线AP与平面ACD1的倾斜角在变化；

（3）A1D始终垂直于运动的直线AP所在的平面BAD1C1，所以A1D⊥AP.

（4）∵動点P在运动的过程中，平面PAD1=ABC1D1，所以二面角P-AD1-C的大小不变.

技巧：分析过程由局部的动点到整体；即考查动点所在的线（面）与已知的点线面之间的特殊的不变的关系（如平行、垂直、距离、夹角不变的关系）.

例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BC，DD1上的点，给出下列命题：

①在平面ABF内总存在与直线B1E平行的直线；

②若B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为2；

③存在点F使二面角B1-AC-F的大小为45°；

④设A1A与平面ABF所成的角为α，BC与平面ABF所成的角为β，则α+β的大小与点F的位置无关.

其中真命题的序号是_____②④_____.（写出所有真命题的序号）

技巧：（1）考查了线面平行的判定定理，通过平移直线B1E可以看出，两者不可能保持平行关系.

（2）考查了线面垂直的性质定理和判定定理及平面几何中的相似关系.

∵B1E⊥平面ABF，∴B1E⊥AF，设CE=a，DF=b以DA为x轴，

DC为y轴，DD1为z轴，则 =（a-2，0，-2）， =（-2，0，b），∴ · =-2a+4-2b=0，∴a+b=2.

（3）寻找临界状态（最大角和最小角）时刻的角可知，选项③错误.

（4）通过平移，将BC平移到AD的位置，这样α+β就是A1A，AD与平面ABF所成角的和，很明显该值为90°.

例3.（2010北京）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）

A.与x，y，z都有关

B.与x有关，与y，z无关

C.与y有关，与x，z无关

D.与z有关，与x，y无关

解析：寻求不变量之间的关系：V= S△EFQ·dA-EFQ= S△AEF·dQ-AEF.

从V= S△EFQ·dA-EFQ角度考虑：S△EFQ不变，但是dA-EFQ在变，看不出与x，y，z的变化是否有关系；从 S△EFQ·dA-EFQ角度考虑，因为点Q运动的轨迹所在的直线DC∥EF，所以dA-EFQ不变，S△AEF= EF×dP-EF在变化，与点P的位置有关.

二、拓展训练

如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值.其中正确说法是（ ）

A.①②③ B.①②④

C.②③④ D.①③④

（作者单位 浙江省台州市蓬街私立中学）