含有绝对值的二次函数最值求解问题

夏良娟

2009年江苏省高考题最后一题考了含参带有绝对值的二次函数，本质是含有绝对值的二次函数最值求解问题，重点考查了分类讨论、数形结合的思想。此类题目有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。在教学過程中，我对这类题目进行了小结，总结了两种方法。

二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内容，对近代数学乃至现代数学影响深远，与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。本文通过几个例子，归纳解决这类问题的一些常见题型与基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a

3x2-2ax+a2，x≥a

注意函数在x=a处相接，分段时两侧都取闭区间，以防止有一侧无最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比较。

当x≥a时，如图1所示。若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f（a）=2a2；若a<，即a<0，f（x）的最小值在

x=处取得，f（x）min=f（）=a2；

当x≤a时，如图2所示。若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在

x=-a处取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a<-a，即a<0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f（a）=2a2。

这种方法是大部分学生所喜欢采用的方法，可是做到这里之后就结束了，不知道或不会综合，难以写出最终答案。由于f（x）分段，故需比较各段上的最小值，可以通过画数轴的方法得出最后的结论。

当a<0时，a2<2a2，f（x）min=f（）=a2；

当a≥0时，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.

综上，f（x）min=a2，a<0

-2a2，a≥0

法二：讨论a的位置，画出完整的对接图形，由图直接得出最小值。由于对称轴是，-a，它们与a的分界点为a=0。若不能直接得到，则令=a，-a=a，找到分界点a=0。一般有两个，此题较特殊，只有一个。

当a≥0时，

当a<0时，

由图3可知，当a≥0时，f（x）min=f（-a）=-2a2；当a<0时，f（x）min=

f（）=a2.

（a的取值范围与对称轴比较大小时，可在范围内任取一个看大小）

这两种方法各有优缺点，各位同学可以根据自己掌握的情况选择一种方法重点掌握。利用你所掌握的方法试着解这道题目：求g（x）=x2+x-a+1的最小值。

（作者单位 江苏省镇江中学）