例谈函数最值法在含参数不等式恒成立问题中的应用
2013-07-29刘长盛
刘长盛
含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型,也是近几年高考的热点题型。这类问题既含参数又含变量,学生往往难以下手,而转化为函数的最值问题是其中较易处理的一种情形。下面对几种常见的问题分类研究如下:
一、形如“?坌x∈D,a≤f(x)恒成立”型不等式
形如“a≥f(x)”或“a≤f(x)”型不等式是恒成立问题中最基本的类型,它的等价转化方法是“a≥f(x)在x∈D上恒成立,则a≥
[f(x)]max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立,则a≤[f(x)]max(x∈D)”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型中.
例题1(2012年陕西理科高考压轴题)
设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).
(Ⅰ)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间 ,1内存在唯一的零点;
(Ⅱ)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1]有f2(x1)-f2(x2)≤4,求b的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设xn是fn(x)在 ,1内的零点,判断数列x2,x3…xn…的增减性。
解:(Ⅰ)、(Ⅲ)略
(Ⅱ)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c,
对任意x1,x2∈[-1,1]都有f2(x1)-f2(x2)≤4等价于f2(x1)-f2(x2)max≤4.
即f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.
当- >1,即b>2时,M=f(1)-f(-1)=2b>4,与题设
矛盾.
当-1≤- ≤0,即0
当0≤- ≤1,即-2≤b≤0,M=f(-1)-f(- )=( -1)2≤4恒成立.
综上所述,-2≤b≤2.
二、形如“?埚x∈D,a≤f(x)恒成立”型不等式
形如“?埚x∈D,a≤f(x)恒成立”问题可转化为“a≤f(x)max”来
求解;
而形如“?埚x∈D,a≥f(x)恒成立”问题可转化为“a≥f(x)min”来求解。
例题2(2013年重点中学第一次联考)
设f(x)= +xlnx,g(x)=x3-x2-3.
若存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M.
解:由题意可知,存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于:
[g(x1)-(x2)]max≥M,∵g(x)=x3-x2-3,g′(x)=3x2-2x=3x(x- ).
由上表可知,g(x)min=g =- ,g(x)max=g(2)=1
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min= ,故满足条件的最大整数M=4.
三、形如“?坌x1∈D,?坌x2∈M,f(x1)≤g(x2)恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f(x1)max-g(x2)min”来求解。
例题3(2013年重点中学联考模拟试题)
设f(x)= +xlnx,g(x)=x3-x2-3.
如果对任意的s,t∈[ ,2]都有f(x)≥g(t)成立,求实数a的取值范围。
解:由题意,该问题可以转化为:在区间[ ,2]上,f(x)min≥
g(x)max,
由例题3可知,g(x)的最大值为g(2)=1,
∴f(x)min≥1,又f(1)=a,∴a≥1
下面证明当a≥1时,对任意x∈[ ,2],f(x)≥1成立.
∵当a≥1时,对任意x∈[ ,2],f(x)= +xlnx≥ +xlnx,记h(x)= +xlnx h′(x)=- +lnx+1,h′(1)=0,
可知函数h(x)在[ ,2)上递减,在区间[1,2]上递增,∴h(x)min=
h(1)=1,即h(x)≥1.
所以当a≥1时,对任意x∈[ ,2],f(x)≥1成立,即对任意的s,t∈[ ,2],都有f(s)≥g(t)成立.故a∈[1,+∞)所求.
四、形如“?坌x1∈D,?埚x2∈M,f(x1)≤g(x2)恒成立”型不等式
该类问题可转化为“f(x1)max≤g(x2)min”来求解。
例题4(2013年南昌市高三文科第一次模拟题)
已知函数f(x)=ax2-blnx在点[1,f(1)]处的切线方程为y=3x-1.
(1)若f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,求实数k的取值范围;
(2)若对任意x∈[0,+∞),均存在t∈[1,3],使得 t3- t2+ct+ln2+ ≤f(x)试求实数c的取值范围。
解:(1)略
(2)设g(t)= t3- t2+ct+ln2+ ,根据题意可知g(t)max≤
f(x)min .
由(1)知f(x)min=f( )= +ln2,g′(t)=t2-(c+1)t+c=(t-1)(t-c),
当c≤1时,g′(t)≥0;g(t)在t∈[1,3]上单调递增,g(t)min=g(1)= +ln2,满足g(t)min≤f(x)min;
当1 g(t)min=g(c)=- c3+ c2+ln2+ , 由- c3+ c2+ln2+ ≤ +ln2得c3-3c2+2≥0,(c-1)(c2-2c-2)≥0,此时1+ ≤c<3. 当c≥3时,g′(t)≤0;g(t)在t∈[1,3]上单调递减,g(t)min= g(3)=- + +ln2. g(3)=- + +ln2≤- + +ln2= +ln2. 综上,c的取值范围是(-∞,1]∪[1+ ,+∞) 五、反馈训练题 1.对于任意θ∈R,sinθ-2+sinθ-3≥a+ 恒成立,则实数a的取值范围是__________。 2.若对任意的a∈R,不等式,x+x-1≥1+a-1-a恒成立,则实数x的取值范围是__________。 3.(2010年山东理科14题)若对任意x>0, ≤a恒成立,则a的取值范围是__________。 4.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对?坌x1∈[-1,2],?埚x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是( ) A.(0,3] B. ,3 C.[3,+∞) D.(0, ] 参考文献: 张文海.一類恒成立求参数范围问题的简解.中学数学研究,2013(1). (作者单位 江西省宜春市高安二中)