透析“点差法”

杨凤萍

所谓“点差法”是设圆锥曲线上的点的坐标，然后代入圆锥曲线方程，再作差。这种方法可速解以下三个重要题型。

题型1：已知弦中点坐标，求弦所在的直线方程

例1.设中心在原点，焦点x在轴上，且离心率为的椭圆与直线l交与A，B两点，且A，B两点的中点M（1，2）为，求直线l的方程.

解：由椭圆的离心率e=可设椭圆方程为x2+2y2=2b2

设直线l与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+2y12=2b2

x22+2y22=2b2

两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0

∴kAB==，又A，B中点为M（2，1）

∴=2 =1 ∴kAB=-1

∴l的方程为y-1=-（x-2） 即x+y-3=0

题型2：已知弦所在的直线的斜率，求弦中点的轨迹方程

例2.已知倾斜角为的直线交椭圆+y2=1与A，B两点，求线段AB中点M的轨迹方程.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得x12+4y12=4

x22+4y22=4

两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

因直线AB的倾斜角为，∴kAB=1

∴kAB==-=1

设AB的中点M（x，y），则x=，y=

代入上式得-=1，∴x+4y=0（橢圆内部的部分）

题型3：已知弦所在的直线的斜率和弦中点的坐标，求圆锥曲线的方程

例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上且它的一条弦

所在的直线方程为y=2x+5，弦中点的横坐标为-3，求此抛物线的标准方程.

解：设弦中点M（-3，y），代入直线方程为y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）设抛物线的标准方程为y2=ax，设直线与抛物线交点为A（x1，y1），B（x2，y2）则=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.

两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=

-4，y2=-4x.

总评：“点差法”解决的几个题型充分体现了“设而不求”的思想，使得复杂问题简单化。

（作者单位 河南省信阳市新县高级中学）