反函数问题的逆向思维处理法

张建新

摘 要：在反函数问题的解题中，若利用原函数与反函数的性质，逆向思维可以很简便地解决问题。

关键词：反函数；函数；逆向思维

反函数问题是高考的考点之一，主要以客观题的形式出现，

考查反函数的求法以及互为反函数的图象间的关系等问题。在反函数问题中，先求出反函数的解析式，再来解决问题属通性通法，但并不是所有的与反函数相关的问题都要求出反函数。若不求反函数的解析式，利用函数与反函数之间的性质，采用逆向思维法可迅速、简便、清晰地处理问题。

例1：设f（x）=，g（x）=f-1（x+1）的图像与h（x）的图像关于直线y=x对称，则h（3）的值为（ ）

A.3 B. C.5 D.

解析：解法1（直接对照法）：由y=得x=，

∴f-1（x）= ∴g（x）=f-1（x+1）=

又因为g（x）与h（x）的图像关于直线y=x对称，∴h（x）是g（x）的反函数.由x=解得h（x）= ∴h（3）==.故选B.

解法2（逆向思维法）：设h（3）=t，则点（3，t）在函数h（x）的图像上，由于g（x）与h（x）互为反函数，∴点（t，3）在g（x）的图像上，点（t+1，3）在f-1的图像上，∴点（3，t+1）在y=f（x）=的图像上，∴t+1=，∴t=故选B.

例2设f（x）=4x-2x+1，则f-1（0）=_____

解析：解法1（直接对照法）：令y=4x-2x+1，则22x-2.2x-y=0，∵

2x>0，∴2x=1+，∴x=log2（1+），∴f-1（0）=1.

解法2（图像法）：利用原函数与它的反函数图像之间的关系，设f-1（0）=m，则（0，m）是反函数图像上的点，因此，（m，0）是原函数图像上的点，得4m-2m+1=0，解得m=1，∴f-1（0）=1.

例3：设f-1（x）是函数f（x）=（ax-a-x）（a>1）的反函数，则使f-1（x）>1成立的x的取值范围是（ ）

A.（，+∞） B.（-∞，）

C.（，a） D.[a，+∞）

解析：解法1（直接对照法）：由f（x）=（ax-a-x）（a>1）得f-1（x）=loga（x+）（x∈R），代入不等式f-1（x）>1，得x+>a，解此不等式得x>.故选A.

解法2（逆向思维法）：∵f（x）为增函数，由f-1（x）>1得f[f-1（x）]>f（1）∴x>（a-a-1）=

即x>（a-a-1）=故选A.

例4：函数y=（x∈（-1，+∞）的图象与其反函数的图像的交点为__________.

解析：解法1（直接对照法）：由y=（x>-1）解得x=，由x>-1得x=>-1，解得y<2，∴反函数为y=（x<2）.

由y=（x>-1）

y=（x<2）解得x=0，

y=0.或x=1，

y=1.

∴所求交点为（0，0）和（1，1）.

解法2（逆向思维法）：由于y=在x∈（-1，+∞）递增，其图象与反函数的图象关于直线y=x对称，并且两图象的交点必在直线y=x上.∴由y=，

y=x.解得x=0，

y=0.或x=1，

y=1.

从而两个函数图象的交点就是（0，0）和（1，1）.

反思：比较以上各例的两种解法可知：先求出反函数的解析式，再来解决问题，此种解法运算量大且费时费力，若在解题中利用逆向思维法，充分利用原函数与其反函数之间的性质，将问题灵活转化，可达到事半功倍效果。

（作者单位 甘肃省临泽县第一中学）