APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用

曾玉祥

摘要：在概念教学中运用APOS理论有助于数学概念综合心理图式的形成及知识系统的意义构建，增强在具体问题情境中主动应用数学概念图式系统分析问题和解决问题的能力。APOS理论在教学概念探究式教学中的应用，要注重概念背景设计、概念的概括表述、概念的深入剖析以及概念的模型的形成。

关键词：APOS理论；高等数学；概念学习；探究式教学

中图分类号：G420 文献标志码：A 文章编号：1002-0845（2013）05-0042-02

高等数学在培养学生的运算能力、抽象思维能力、概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、实践能力等方面具有自身独特的优势，能为后续的专业、技能和理论学习提供必要的基础知识和思维方法，为终身学习提供必要的知识积累，其重要性随着科学技术的发展进步而日益凸显。国内外很多高校在文科类专业都全面开设了大学数学课程。高等数学的学习过程中，概念的教与学是最重要的教学环节之一，概念的理解与掌握是学好高等数学课程的基本要求和先决条件，探索APOS理论在探究式概念教学中的应用具有一定的理论意义和实践价值。

一、APOS学习理论和探究式教学

1.APOS学习理论

APOS理论是一种以建构主义为基础的数学学习理论，是杜宾斯基对皮亚杰的“自反抽象”理论的一种扩展。其核心是引导学习者在社会线索中开展学习活动，分析问题情境，学习数学知识，从而建构他们自己的数学概念和思想。APOS理论集中对数学概念这个特定内容的学习过程的研究，认为高等数学概念的学习过程是建构的，其建构的基本顺序层级为：个体依次构建心理活动（Actions）、过程（Processes）和对象（0bject），也可以叫做数学概念的三个阶段或者三种中间状态。最终形成可以理解问题情境的图式结构（Schemas），即形成数学概念的认知结构。

但是在实际学习过程中，学习个体对于某一高等数学概念的理解并不只是线性的，而往往是循环的、渐进的，通过不断的内化、压缩与解压缩，再内化，再压缩与解压缩，最终实现高等数学概念的意义构建。APOS理论指出，特殊数学思想下的不同概念建构更多是辩证的螺旋上升的而不是线性的结果。

2.探究式教学

探究式教学方法又叫做发现法、研究法，是指让学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径独立探究、自行发现并掌握相应的原理和结论的教学方法。最早提出在教学中使用探究法的是美国著名教育思想家杜威。探究式教学的核心与载体是问题，从教学的角度，教师要围绕教学目的和内容，精心设计出难度适中、逻辑合理、基于学生最近发展区且利于发掘学生自主探究潜能的问题。探究式教学要求教师作为一个组织者，提供一定的条件或者必要的资料，学生自己动手寻求答案或者提出假设，教师指导、规范学生的探索过程；整个过程可以由学习者一个人完成或者由教师分组安排完成，不同的学生或者团队可以就同一问题提出不同的解释或者看法并进行讨论。探究式教学可以有效增强学生的自主学习能力以及培养学生寻求合作的团队精神。

高等数学概念的特点决定了探究式教学模式的适用性和有效性。通过探究式教学，结合多媒体教学技术等手段，能有效再现概念从产生到形成的思维过程，符合学生的认知规律。探究式教学的基本过程可以归纳为“问题引入一问题探究一问题解决—知识构建”四个阶段。

二、APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用

APOS学习理论和探究式教学方法都认为，教师在教学中是组织者和参与者，而不是一个讲授者或者灌输者。但这并不是弱化教师的作用，反倒是对教师的综合素养提出了更高的要求。基于高等数学概念的特点及学习心理的研究，根据多年的高等数学实际教学和改革实验的经验，笔者认为，可以把APOS学习理论应用于高等数学概念的探究式教学，并通过实际教学对象和过程进行实践探索，取得实际效果。

1.概念的背景设计：“问题引入一活动”（Action）阶段

APOS理论和探究式教学和学习方法都认为，教师要充分体现参与者、组织者、引导者的角色。概念的引入背景设计要充分考虑学生的学情和认知规律，应该通过几何、物理甚至人文背景设计问题引入；通过“活动”让学生亲身体验，引起探究的兴趣，为成功开展具体的探究活动打下良好的基础。活动的开展要注意防止两种倾向：一种是不关心学生的认知规律和原有知识结构，一味强调知识的原始来龙去脉，导致学生因为难度过大而逐渐失去信心；另一种是所谓的“去数学化”活动，就是只注重动手、讨论等外部探究活动而忽略了数学的内在本质特点，导致探究活动和数学二者不相融合，无法形成有效的知识结构，更谈不上灵活运用。例如导数的概念，现行高等数学教材中有两个经典引例，一个是切线的斜率，一个是变速质点的瞬时速度，这两个引例对于物理专业的学生来说，很有针对性。但是对于经济、生物、地理等专业的学习者来说，与专业的结合就显得不是那么紧密了。因此，教师可以增加选取一些与专业背景更紧密的问题或者与学生日常兴趣爱好更相关的一些问题来引入。例如针对导数的概念，可以选取伦敦奥运会牙买加运动员博尔特的100米比赛为切入点，设置如下问题：速度的最高点在什么地方出现？怎么计算其最大速度？就能引起学生极大的好奇心和兴趣，从而产生去解决问题的心理内驱力。针对地理专业的学生在学习定积分的概念时，可以设计课外阅读有限元法的资料等活动，了解其在矿产资源勘探、石油勘测数据分析等方面的应用，既可以强化“无限分割求和求极限”的定积分思想，也能让学生切实了解数学在实际专业工作中的应用，从而增强学生学好数学的决心和动力。针对极限的概念，可以以我国唐代著名诗人李白在《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中脍炙人口的诗句“孤帆远影碧空尽”为切入点，这不正是所表达的真实意境吗？通过数学活动，了解中国古代历史，还能渗透爱国主义教育，传播数学文化，增强民族自豪感，可谓一举多得。在数学概念的教学活动中，这样的活动背景比比皆是，教师只要做一个有心人，就一定能设计出很有吸引力和针对性的引入问题并通过问题驱动有效高效地开展探究活动。

2.概念的概括表述：“问题探究一过程”（Processes）阶段

APOS学习理论和探究式教学方法认为，活动并不是数学概念学习的目的，如果对活动放任自流，不加以适当引导，可想而知，效果肯定不会理想。认知理论认为，学习者经过对“活动”的思考，经历思维的内化、压缩、解压缩过程，在头脑中对“活动”进行描述和反思，从而抽象出特定概念所特有的性质，即概念的概括表述“过程”。从图像、数值、声音、语言等多元表征方式展现数学概念，不同的表征能够传达不同的信息，整合的表征所获取的信息远远大于从各个单一表征中获取的信息。应该借助现代多媒体和计算机辅助教学技术手段，从不同角度、不同侧面全方位立体展示概念的内涵和外延，可收到举一反三、事半功倍的效果。例如极限的概念，可以利用自制的3D动画来展示极限的动态过程，在笔者的教学实践中，学生感觉印象“非常深刻、非常直观、非常明显”，还为后期学习极限存在性判定定理“单调有界必有极限”打下了良好的基础。对定积分的概念，可以用MATHMATIC等软件展示我国古代数学家刘徽的割圆术的过程，通过不断细分的网格化过程，充分体会“分之弥细，则所失弥少”的意境，体味古代数学家思维的独特魅力。

3概念的深入剖析：“问题解决一对象”（Object）阶段

通过前面的“活动”和“过程”，对数学概念的本质有了一定的认识，对其赋予形式化的语言和符号，从而凝聚成为一个“对象”。APOS学习理论认为，“对象”状态呈现出一种静态的结构关系，因而有利于从整体把握其性质。同时，凝聚的对象又可以在以后的学习中去进行新的“活动”，从而转化成为一个可以被操作的“实体”，通过新一轮的内化、压缩与解压缩的过程，不断更新和建构新的认识结构，最终形成一个涵盖高等数学的概念系统，应用贯穿其间，组成一个立体网络，完成真正意义上的高等数学意义构建，并进一步形成数学思维能力。因此，在实践教学过程中要特别注重分析解剖数学概念表达形式中精炼的语言和所使用的符号的涵义，从多角度、全方位分析概念所适用的条件和范围。譬如对概念的内涵和外延的进一步的说明和解剖分析，注重阐明隐藏在概念符号语言背后的数学思想方法，有意识引导学生发现数学思维过程中数学感念的矛盾运动和发展变化。等等。正如一位研究数学美的学者所言，数学教师的作用就是帮助学生发现隐藏在“冰冷形式后”的“火热的思考”过程。

4.概念的模型形成：“知识构建一图式”（Schemas）阶段

经过前三个阶段的螺旋式渐进上升过程，APOS学习理论认为，此时的高等数学概念已经在头脑中形成为一种包含具体实例、抽象过程以及完整定义乃至与其他概念的区别与联系在内的综合心理图式。概念的模型初步形成，要引导学习者遵循认知规律，不断反复，螺旋式前进，横向联系，纵向比较，强化实际应用，最终形成比较稳定的综合心理图式。并把这种稳定的心理图式置入更加立体化的高等数学概念网络之中，逐渐形成稳定的高等数学知识结构网络。比如学习了定积分的概念，形成图式以后，要加强联系，从定积分的形式上看，就是一种极限形式，逆向思维训练，表明某一类极限可以利用定积分来求解，这正是研究生入学考试高等数学课程中的一类常见题型。通过分析怎么样构造适当的“分割方式”、选取适当的积分区间和对应的“积分函数”，又增强了对定积分概念的理解。在笔者的实际教学中，某年级物理系的一名同学非常感兴趣，用他的话来说，“真的感觉好奇妙，还可以做出不同函数在不同积分区间上的定积分”。这位同学在后来的全省高等数学非专业组竞赛中获得一等奖的佳绩。

APOS学习理论和探究式教学方法都认为，数学概念的内化来自反复操作，在不断反思的基础上形成概念过程，概念过程静态化凝聚成概念对象。特定的高等数学专题往往涉及许多的操作、对象和过程，需要进行组织和协调，进而形成一个连贯一致的概念框架，也就是APOS理论所说的综合心理图式阶段。这种综合心理图式可以让学习者在实际的数学问题情境中灵活使用所需的思维方式，真正提高学习者自主学习的能力、创新思维的能力、主动分析问题和解决问题的能力。