先设后求以退为进——探讨平面翻折问题中“折起点”坐标的量化方略<br/>

先设后求以退为进——探讨平面翻折问题中“折起点”坐标的量化方略

2013-07-25☉

中学数学杂志 2013年3期

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笔者在运用空间向量解决立体几何中的平面翻折问题时发现，在建系之后的空间图形中，底面上各点的坐标相对容易量化，但折起之后，由底面上升到的空间的相应点（本文称之为“折起点”）的坐标，有时难以直接标注，而该点却往往是问题的核心之点，一旦坐标得以量化，则整个问题的难点随即“土崩瓦解”.因此，如何有效量化“折起点”的坐标是解决这类问题的关键.笔者探究发现，在“折起点”坐标难以直接标注的情况下，采用“先设后求、以退为进”不失为一种有效的方略，即欲求“折起点”坐标，先设其坐标为（x，y，z），由该点向底面引垂线（退回平面），垂足的坐标即为（x，y，0）（设底面为xOy平面），通过翻折问题的几何性质解出x，y；然后再返回到“折起点”中（进到空间），根据已知条件或翻折性质，求出坐标z，从而求得“折起点”坐标.由于在底面求解x，y时，须借助翻折问题的几何性质，为此，笔者下面先介绍相关性质，然后例谈如何具体求出“折起点”坐标.

一、性质介绍

平面翻折问题的实质是平面绕轴的旋转问题，因此，同一平面在翻折前与翻折后各几何元素间的位置、大小关系均保持不变，由此可推出如下性质：

性质1：如图1，将△ABC沿直线AB折起至△ABC1，则AB⊥CC1.

证明：过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接C1D，则C1D⊥AB（因为C1D是CD经平面翻折后的线段），所以AB⊥平面C1DC，从而AB⊥CC1.

性质2：如图1，将△ABC沿直线AB折起至△ABC1，设折起点C1在△ABC所在平面内的射影为H，则HC⊥AB.

证明：因为C1H⊥底面ABC，所以AB⊥C1H，又由性质1知AB⊥CC1，所以AB⊥平面C1HC，所以AB⊥HC，即HC⊥AB.

性质3：如图1，将△ABC沿直线AB折起至△ABC1，设P是直线AB上任意一点，则PC1=PC.

证明：因为PC1是PC经平面翻折之后的线段，所以PC1=PC.

图2

性质4：如图2，四边形ABCD中，E是AD的中点，∠AEB=∠DEC，将 △AEB、△DEC分别沿直线EB、EC折起至△SEB和△SEC，使得A、D重合于S点，设S在底面ABCD上的射影为O，则O在∠BEC的平分线上.

证明：因为∠AEB=∠DEC，折起后有∠SEB=∠SEC，故点O在∠BEC的平分线上.

二、方法应用

例1 如图3，在边长为3的正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE=CF=CP=1，将△BEP、△CFP分别沿EP、FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合（如图4），B、C折起后的对应点分记为B1、C1.

（1）求证：PF⊥平面B1EF；

（2）求AB1与平面AEPF所成角的正弦值.

图3

图4

解：（1）略；

点评：本题建系之后，底面各点的坐标均容易标注，但“折起点”B1的坐标却难以直接标注，而由题意可知，一旦B1点的坐标得以量化，则后面的求解将是“一马平川”，否则，空间向量将无“用武之地”.既然如此，那就只得另辟蹊径：采取“先设后求、以退为进”.实践证明，这种方法不仅计算量小，而且操作简便，在空间向量遭遇“折起点”坐标挑战时，可巧妙化解，使问题的解决峰回路转、柳暗花明.当然，本题的解决离不开平面翻折问题的几何性质，因此，熟练掌握翻折问题的几何性质是解决此类问题的必备前提.

例2 如图5，有一边长为2的正方形纸片ABCD，E是AD边中点，将△ABE沿直线BE折起至A1BE位置，此时恰好A1E⊥A1C（如图6），点A1在底面上的射影为O.

（1）EO⊥BC；

（2）求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.