高考数学试题命题策略解读

☉浙江省嘉兴市第一中学 沈新权（特级教师）

高考数学试题是各省市的命题专家经过深思熟虑和严密讨论后命制出来的，它们的来源主要是数学教材、历年高考试题以及国内外的竞赛试题和高等数学，这些高考试题有的是以已有的陈题为蓝本，通过改编题目的条件或结论或对原题目进行类比、推广与拓展形成新的问题而得到的，也有的试题是把高等数学的一些知识移植到初等数学中来命制的，镶嵌在各省市高考数学试卷中的一些创新题大多具有高等数学知识的背景.

一、来源于教材问题的改编

教材是数学知识和数学思想方法的载体，是我们进行课堂教学的依据，也是学生学习数学知识的工具，更是高考试题命题的重要来源之一，高考命题专家非常重视对教材问题的改编，因此，我们可以在高考试卷中找到不少以教材中的例题、习题或数学素材为背景而命制的高考试题.

1.将教材中的各种类型的习题改编命制高考试题

教材中的数学问题内容丰富，层次分明，有例题、练习题、习题、复习参考题等，对其中的不少问题稍作改编，就能得到一道高考试题.

A.14 B.16 C.17 D.19

2.以教材栏目素材为背景命制高考试题

例2（2008年浙江卷理科第10题）如图1，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）.

图1

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行直线

命题策略解读：例2源自人教版A版选修2-1第42页探究与发现栏目《为什么截口曲线是椭圆》.教材是这样描述的：“用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线.你能够证明截口曲线是椭圆吗？”例2的实质是考查椭圆的本质定义，即椭圆是由与圆柱的母线斜交的平面所截得的截口曲线的轨迹.试题以此为背景，使大家感到既在“意料之外”，但又在“情理之中”.无独有偶，2010年浙江卷理科第19题是以人教A版选修2-3第70页“高尔顿板模型”为背景来设计的高考试题.

3.以教材中问题的结论作为背景来命制高考试题

教材的例题、习题中有很多问题的结论有着深刻的背景，以这些背景命制的高考试题意蕴丰富，灵动有加.

命题策略解读：人教版A版必修2第144页复习参考题B组第2题的背景是阿波罗尼斯圆，也就是点M（x，y）与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m，当m≠1时，点M的轨迹是圆.由例3的条件我们可以知道，点C到点A的距离与点C到B的距离之比为，所以点C的轨迹是一个圆.由此我们很自然的想到下面的解法.如图2，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，由题意可得A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由BC得（x-3）2+y2=8，所以点C的轨迹是一个半径为的圆，所以.这个问题的解法很多，但大多运算较繁，这里建立坐标系的解题思想的形成正是源于其命题的背景.

图2

4.把教材中的问题进行再创造来命制高考试题

例4（2012年浙江卷理科第16题）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=______.

二、来源于高考试题的改编

新课程改革以来，每年都会产生不少优秀的高考数学试题，这些高考试题必然会受到高考命题者的青睐，把它们改头换面，使之“脱胎换骨”成新的高考试题.

1.改编条件，交换结论

命题者经常把高考题中的条件和所要求的或证明的问题相互交换，构造一个新的问题，如此一来，条件和结论经过“排列组合”的高考试题就可以重新“粉墨登场”了.这是命题者经常使用的命题方式之一.

例5（2009年全国大纲卷理科第6题）设a，b，c是单位向量，且a·b=0，则（a-c）·（b-c）的最小值为（ ）.

例6（2008年浙江卷理科第9题）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则的最大值是（ ）.

A.1 B.2 CD.

命题策略解读：单位向量、数量积的运算、夹角的大小、模的最值是向量问题中的永恒“主题”，以此为背景的高考题层出不穷.例5把例6中的条件“（a-c）·（b-c）=0”改编为问题“求（a-c）·（b-c）的最小值”，而原题中所求的“的最大值”则被改编为条件“c为单位向量”，如此的简单交换，题目的新意却由此产生.与此类似的题目还有2009年全国卷Ⅰ理科第6题，2011年辽宁卷理科第10题等，这些题目与例6有异曲同工之妙.

2.移花接木、拓展延伸

改变问题的背景，也是命题者惯用的一种手法.这种改编方式经常出现在解析几何问题中，例如根据某一个问题，命题者把其中的圆改成圆锥曲线，或者把椭圆、双曲线、抛物线互相交换，从而得到新的命题.

图3

（1）求椭圆C的方程；

在模型OPM(t)基础上，可以发展2个模型，用于后续算法设计，模型描述见表1，其中：OPM1(t)最小化相邻阶段贝内计划偏差，该模型求解获得的目标函数值记为最小化t阶段的贝内横倾力矩，将相邻阶段贝内计划偏差作为约束，上边界取值

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

图4

图5

例9（2005年江西卷文科第21题第（1）问）如图5，M是抛物线上y2=x上一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.

命题策略解读：例7的第（2）问同时参考了例8、例9两道高考题.在例8中，两条直线的倾斜角互补意味着这两条直线的斜率互为相反数，而在例9中，由“动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB”可知△AMB（见图5）为等腰三角形，∠MAB=∠MBA，即∠MAB+∠MBx=π，所以ME，MF的斜率也互为相反数.因此，从中可以看到，辽宁卷的命题者只是把抛物线背景改成了椭圆，它们本质上都是过定点作两条直线与圆锥曲线分别交于两点，且这两条直线斜率相反.然后证明两直线与圆锥曲线的交点的连线的斜率为定值.基于此，这几道题的解题思路和方法基本相同，都要联立直线与圆锥曲线的方程，根据韦达定理求出其中一个交点的坐标，由两条直线斜率互补求出另一个交点的坐标，最后根据两点式确定所求直线的斜率为定值.

在解析几何的高考试题中，类似的命题手法经常出现.命题者往往从圆锥曲线（或圆）的某个几何性质出发，经过适当的铺垫，把它们改编成高考试题.上海教育出版社出版的蒋声翻译的《圆锥曲线的几何性质》一书中有很多解析几何高考试题的“母题”.

3.隐藏背景，殊途同归

有些经典的数学问题题目简洁，解法多样，对学生思维能力的培养有着非常重要的作用，这些问题往往成为高考题中的“常青树”，命题者通过各种命题手法，给题目套上不同的“外套”，隐藏原题的背景，让它转变成为新的高考试题.但层层“剥壳”之后，我们会发现这些高考试题的“庐山真面目”.

例10（2009年山东卷理科第20题）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上.

（1）求r的值；

例11（1985年上海卷理科第8题）求证：

以此为命题手法的高考题举不胜举，如2007年重庆卷理科第21题、2008年福建卷理科第22题等.

三、来源于竞赛问题的改编

严格说来，竞赛题和高考题并没有本质上的区别，但相比高考题，很多竞赛题的分析、求解需要用较高层次的思维方法，所以，从试题的难易程度来讲，大部分数学竞赛试题与高考题不属于同一个层次，它们不能和侧重考查基础知识和基本技能的高考题相提并论.但高考和竞赛这两种考试的选拔功能又决定了两者之间有许多可以相互借鉴之处，所以高考试题中经常出现竞赛数学的思想和方法也就不足为怪了.

1.改编竞赛题的情景，使之成为高考试题

对有较高能力要求的数学竞赛试题，如果改编其情景，将问题多设置几个台阶，那么这个问题就可以作为高考的能力题.

例12（2008年辽宁卷理科第11题）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）.

A.不存在 B.有且只有两条

C.有且只有三条 D.有无数条

例13（1997年全国高中数学联合竞赛一试第6题）如果空间中三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有（ ）.

A.0条 B.1条

C.多于1条的有限条 D.无穷多条

命题策略解读：例13给我们感觉有点“天马行空”的味道，直接把它作为高考试题肯定不太合适，而解决这个问题的核心方法也正是立体几何处理问题的常用方法，即把空间问题转化到一个平面内来加以处理.于是例12就应运而生了，它是例13的一种特殊情况，也就是说，把例13中三条两两成异面直线的直线a，b，c置于正方体ABCD-A1B1C1D1内，使之成为了A1D1，EF，CD，这样设置台阶，不仅改变了问题“可怕”的外观，使例13变成了例12，更妙的是这一改编实际上是向考生提示了问题的解决方法，从而减小了例12的难度.

2.模拟竞赛试题的问题背景，命制高考试题

例14 （2011年浙江卷理科第21题第（2）问）如图6，已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M.已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

图6

图7

例15 （2008年全国高中数学联合竞赛一试第15题）如图7，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x－1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.

命题策略解读：光从题目上看，我们好像看不出这两个问题之间的联系，但如果作出图像，我们就知道这两道题目有着千丝万缕的关系.两题的几何背景十分相似，都是过抛物线上一点作抛物线内部一个圆的两条切线，例14讨论的是过点P的圆的切线与抛物线交于A，B，当直线AB与PM垂直时，求直线PM的方程.例15要求的是过点P的圆的切线与y轴的交点构成的三角形面积的最小值.虽然两道题目所求解的内容不太一样，但由于它们有着几乎共同的背景导致这两个问题的解法基本一样.在例14中，由题意可知M（0，4），要求直线l的方程，就要求出点P的坐标；而要求例15中△PBC面积的最小值，也需要求出点P的坐标.在解题时，对于A，B的坐标（例15中是B，C），我们可运用“设而不求”的方法，这是处理解析几何中直线与圆锥曲线相交问题时常用的方法，即使是解决以竞赛题为背景的例15也毫无二致.

3.借鉴竞赛数学的思想，编拟高考试题

纵观历年各省市的高考试题，我们不难发现在高考数学试题中时隐时现的数学竞赛思想，这些思想往往与高中数学内容相关，但平时教学中又较少涉及，以此来编拟高考试题可以体现试题的新颖性.

例16（2010年江西卷理科第22题）证明以下命题：（1）对任一正整数a，都存在整数b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2成等差数列.

命题策略解读：第（1）问的核心在于对任一正整数a，都能够找到整数b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差数列，也就是确定使等式2b2=a2+c2成立的整数b，c（b＜c）的值，因此这个问题从方程的角度来看，就是其未知数的个数多于方程的个数，这样的方程其实就是不定方程.不定方程是初等数论中的一个重要内容和课题，也是高中数学竞赛的内容之一，所以，例16是以数学竞赛中的不定方程为背景而命制的题目.虽然其命题思想是借用数学竞赛中的不定方程的思想，但解决方法还是限定在中学数学知识范畴内，考生在思考时，只要理解这个问题的本质，就可以利用解方程的思想，用凑数法来找出这个不定方程的解，从而解决问题.这类问题的解法的“巧妙性”正是命题者苦心积虑设置的“机关”，主要目的就是为了区分不同思维层次的学生.

四、来源于高等数学的高考题

高考数学命题组的核心成员是高校教师，他们更理解初等数学与高等数学之间的密切关系，他们命题时能够使高考试题隐含或直接体现高等数学的一些知识、思想和方法，这样的试题背景公平，夺人眼球.

1.利用高等数学中的基本知识命制高考信息题

运算是数学的基础，实数和实数相加仍旧是实数，但实数与实数相加却不一定是有理数.类似的数学中浅显的道理对于站在更高观点的高考命题者来说，却是一次次命题的良机.高等数学中的一些数学概念与高中的数学概念相比具有更广泛的意义，比如我们熟知的三角形、圆等几何图形在高等数学看来就是具有某些特征的点的集合，这种特征也可以作为高考数学命题的背景.

例17（2011年广东卷理科第8题）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）.

A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭

B.T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

C.T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D.T，V中每一个关于乘法都是封闭的

例18（2010年福建卷文科第15题）对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集.如图8，给出平面上4个点集的图形（阴影区域及其边界），其中为凸集的是______（写出所有凸集相应图形的序号）.

图8

命题策略解读：集合运算的封闭性是高等数学中抽象代数这门学科的基础知识，例17这道高考题就是以集合运算的封闭性为背景的新定义题.该题的关键是首先要理解“S关于数的乘法是封闭的”这一概念，我们前面提到的实数和实数相加仍旧是实数就说明实数集对于加法是封闭的，有了这样的认识，这种题目的解答就不攻自破了.在例18中，凸集是一个抽象的概念，实际上它是高等数学中的点集拓扑学中的一个基本概念，这道高考题以凸集的概念为背景，考查了考生对新概念的理解能力.理解凸集的关键是“对于平面上的点集Ω，连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω”，除了前面提到的三角形、圆以外，正方形、梯形等几何图形都是凸集.虽然这种问题具有高等数学的背景，一旦“剥开”了“高等数学外套”，我们就会发现它考查的知识和思路非常基础.

2.选择高等数学中可以用初等方法解决的问题来命制高考试题

在近几年的高考试题中，频频出现一类题目，虽然利用中学的数学知识可以解决，但是如果从高等数学的相关知识的视角去分析，问题的解决往往是“小菜一碟”，这样的试题也即所谓的“高观点”试题，它们在知识上具有一定的深度，符合高考“能力立意”命题的宗旨，既突出了数学的学科特点，又较好的甄别学生的数学能力.

3.借助高等数学中的著名问题命制高考试题

高等数学中有一些意味深长的著名问题，如“四色问题”、“错位排列问题”、“赌金分配问题”等，利用这些问题命制高考试题的方法是，先考虑这些问题的简单情形，再赋予其具体的问题情景，新的题目就不请自来了.

例20（2010年浙江卷理科第17题）有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上午和下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上午和下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______种（用数字作答）.

命题策略解读：例20要求“上午不测‘握力’项目，下午不测‘台阶’项目”，仔细分析下来，这其实是一道有限制条件的错位排列问题.首先我们知道，上午测试安排有种方法，对于下午的测试，我们把它分为两类：第一类：若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种测试方法（相当于3个元素的错位排列）；第二类：若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则这位同学有种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有种方法，其余两位只有1种测试方法（相当于2个元素的错位排列），因此，这时共有·=9种方法.从而，我们知道满足条件的测试方法共有·（2+9）=264种.直到我们做完这个题目才知道“错位排列问题”“隐藏”其中.

“操千曲而后晓声，观千剑而后识器”.高考数学试题的命制是一个非常复杂的课题，我们这里总结的命题策略可能仅仅是“沧海一粟”，但通过研究，我们可以肯定的是，高考数学试题不是无中生有的，它植根于数学内在发展的规律；高考数学试题也并不是我们所想象的那么神秘，它诞生于我们对数学的探究.每一个高考数学试题都有着明确的考查目标，每一个高考数学试题的背后也都有着一个个精彩的数学故事，甚至还蕴藏着丰富的数学背景，研究高考试题不仅仅是研究高考试题的考查重点和解题方法，我们更应该高度关注高考试题的来源和命题策略，让高考试题为教学所用，以此来引导学生重视对高考数学试题的练习和研究，从而真正发挥高考数学试题所应该发挥的作用.

1.张琥.例析以高等数学为背景的高考数学试题［J］.中学数学，2012（4）.

2.秦洪银.细心揣摩课本题，有机生成高考题［J］.中学数学，2012（7）.