“形“”性”而解——浅议阿基米德三角形的应用

☉浙江省新昌中学 王宁岚

在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的“三角形”——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形.因为是阿基米德最早在《抛物线的球积法》著作中利用逼近的思想证明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二.本文证明了阿基米德三角形的几个有趣性质，并用它来解一些近几年中出现的高考试题.证明时抛物线均以x2=2py为例，阿基米德三角形为△ABP，其中AB为弦，P为另一个顶点，N为弦AB的中点，下不赘述.

图1

性质1：如图1，△ABP的边AB过抛物线内一定点C，则另一顶点P的轨迹为一条直线.

利用直线PA满足的关系式：x1x0=p（y0+y1），将x1x0用p（y0+y）1代入①式并整理可得直线AB的方程为：x0x=p（y0+y），又直线AB过定点C（a，b）得x0a=p（y0+b），由P（x0，y0）的任意性可知P的轨迹方程为ax=p（b+y），即顶点P的轨迹为一条直线.

注：若弦AB过的定点C不在y轴上时，直线在抛物线外且与y轴不垂直；若弦AB过y轴上的定点C（0，b）时，直线与y轴垂直，且方程为y=-b.

性质2：若直线l与抛物线没有公共点，则以直线l上的点P为顶点的△ABP的底边AB过定点.

证明：设直线l的方程为ax+by+c=0，由条件直线l与抛物线没有公共点可知b必不为零，设P（x0，y0），则

由①②整理得（bx+pa）x0+p（c-by）=0.

图2

性质3：如图2，△ABP中，若N为抛物线弦AB的中点，则直线PN平行于抛物线的对称轴.

例1设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列.

图3

例2如图3，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q.

（1）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

（2）试问（1）的逆命题是否成立？说明理由.

图4

例3如图5，对每个正整数n，An（xn，yn）是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn（sn，tn）.

（Ⅰ）试证：xnsn=-4（n≥1）；

（Ⅱ）取xn=2n，并记Cn为抛物线上分别以An，Bn为切点的两条切线的交点.

图5

证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx，将它与抛物线方程x2=4y联立得：x2-4knx-4=0；

由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4（n≥1）.

性质5：如图4：在△ABP中，若F为抛物线焦点，则∠PFA=∠PFB.

因为∠PFA∈（0，π），∠PFB∈（0，π），所以∠PFA=∠PFB.

推论：在阿基米德三角形ABP中，若弦AB过抛物线焦点F，则PF⊥AB.

例4如图6，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C

的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

说明：本文命制背景实际上就是上面性质5的证明.

图6

值得注意的是阿基米德三角形还有其他许多性质，这里限于篇幅恕不展开，另外椭圆与双曲线中也具有许多相似的性质，有兴趣的读者可继续探究.

1.吴跃生.再谈抛物线的阿基米德三角形的性质［J］.数学通讯，1999（8）.

2.王学凤，刘晓锐.悄然兴起的阿基米德三角形［J］.高中数学教与学，2009（5）.