Choquet积分与Sugeno积分的不等式关系
2013-07-24冯慧敏李雪非吕文静
冯慧敏,李雪非,吕文静
(1.河北大学 数学与计算机学院,河北 保定 071002;2.河北农业大学 理学院,河北 保定 071001;3.河北大学 新校区管理与建设办公室,河北 保定 071002)
经典测度起源于几何度量,例如长度、面积、体积.经典测度是一个非负的可加集合函数,概率测度是经典测度的一种.在经典测度发展过程中,可加性成为一个争议的对象.在理想的、无误差的理想情况下,经典测度是适用的.而在现实中,测量误差是不可避免的.此外在一些涉及主观判断的问题中,比如从多个投资项目中选择一个进行投资,度量很显然不符合可加性的条件.因此出现了模糊测度,模糊测度用单调性代替了经典测度中的可加性.而以经典测度为基础的勒贝格积分不能适用于模糊测度,与模糊测度相应的是模糊积分[1-3].Sugeno积分和Choquet积分是2种有代表性的、应用较多的模糊积分.在多指标决策中指标之间经常有交互作用存在,因此这类问题中模糊测度和模糊积分是合适的数学工具[4-9].在此类问题中,Sugeno积分和Choquet积分中选择哪一个呢?这个问题需要结合当前问题的特点和积分的特点做选择.没有哪一种积分永远是最优的,2种积分各有特点及其适合的实际问题.而实际上在一定条件下,基于这2种模糊积分的决策没有区别.因为在多指标决策中,2种模糊积分满足一个不等式关系,即2种模糊积分值的差不超过1/4.根据该不等式可以认为,在一些情况下,依据2种模糊积分所做出的决策是一样的.
1 预备知识
在多指标决策中,定义模糊测度的集合属于有限集合,因此本文的讨论限于有限集合.先回顾一下模糊测度和模糊积分的基础知识[10-11].
模糊测度是对经典测度(即可加测度)的推广.
定义1 设X={x1,x2,…,xn}为非空有限集合,P(X)为X 的幂集,集函数μ:P(X)→(-∞,+∞),若集函数μ 满足下列条件:
1)μ(Ø)=0(归零性).
2)对任意A⊂X,有μ(A)≥0(非负性).
3)对任意A⊂B,A⊂X,B⊂X,有μ(A)≤μ(B)(单调性),则称μ 为模糊测度,也称为单调测度.
当模糊测度满足μ(X)=1时,称为正则模糊测度,通常在多指标决策中采用的都是正则模糊测度.
设函数f(x)为定义在集合X={x1,x2,…,xn}上的非负函数,f:X→[0,1],μ 为定义在P(X)上的正则模糊测度.假设集合X 中的元素已经经过重排,使得0≤f(x1)≤f(x2)≤…≤f(xn)≤1.令Ai={xi,xi+1,…,xn},根据模糊测度的单调性,显然有1=μ(A1)≥μ(A2)≥…≥μ(An)≥0.Sugeno积分和Choquet积分的定义如下.
定义2 函数f(x)关于模糊测度μ 的Sugeno积分定义为
定义3 函数f(x)关于模糊测度μ 的Choquet积分定义为
其中f(x0)=0.
Sugeno积分是以取大、取小算子为基础,因而其光滑性较差,不便于进行解析分析.Choquet积分是以乘、加算子为基础,因而其光滑性较好,便于进行解析分析.而且当模糊测度退化为经典测度的时候,Choquet积分可以与勒贝格积分完全一致.
2种模糊积分均满足有界性,即
1.5 疗效判定指标[6] 痊愈:B超检测子宫大小、胎儿大小与孕周基本符合,BPD、FL及S/D比值都有明显改善,双侧RI均<0.8;有效:B超检测子宫大小、胎儿大小与孕周基本符合,BPD、FL、RI及S/D比值都有所改善;无效:B超检测胎儿发育不良或停止发育,BPD、FL、RI及S/D比值均无改善。
2 2种模糊积分的不等式关系
定理1[11]设X={x1,x2,…,xn}为有限非空集合,函数f 满足:f:X→[0,1],μ 为定义在幂集P(X)上的正则模糊测度,则有
该定理表明,对于正则模糊测度,值域在[0,1]区间内的函数的Choquet积分和Sugeno积分的值相差不大.在多指标决策、群决策中,恰好可以满足定理的条件.下面对该定理进行证明.
证明 假设被积函数f(x)已经满足0≤f(x1)≤f(x2)≤…≤f(xn)≤1(如果不满足,可以对集合X 中的元素进行重排,使其满足).令Ai={xi,xi+1,…,xn},显然根据模糊测度的单调性有1=μ(A1)≥μ(A2)≥…≥μ(An)≥0.下面分6种情况分别证明.
证毕.
3 讨论
在专家系统、多分类器融合、多指标决策等类似问题中,多数都是使用正则模糊测度.此时被积函数f(x)在不同问题中,可有不同解释,如各个专家对于自身决策的把握程度、各分类器认为待分类对象属于各个类的概率(或可能性)、待评价目标与各个指标的符合程度.通常被积函数f(x)满足取值在[0,1]区间内的要求,因此Choquet积分和Sugeno积分的不等式关系适用于这些问题.该不等式说明,在一些情况下2种模糊积分的决策结果是一样的.下面举例说明:
例1:设有2个投资项目A,B,请专家分别对2个项目从低风险(x1)、高收益(x2)、可行性(x3)3个方面进行评估,专家的评分结果列于表1.项目负责人认为评价项目的各指标的重要性通过一个模糊测度表示,该模糊测度定义在指标集合上.
表1 专家对2个项目的评分Tab.1 Scores of two projects from experts
表2 指标的重要性(即模糊测度μ)Tab.2 Degree of criteria(fuzzy measureμ)
将专家从3个指标对项目A,B的打分分别看做被积函数,关于表2中的模糊测度求Choquet积分得
显然项目A 的总评分0.81高于项目B 的总评分0.21,因此最终的决策结果是项目A.根据定理1可知,如果采用Sugeno积分,则项目A 的总评分在区间[0.81-0.25,0.81+0.25]内,即[0.56,1](因为由模糊积分的有界性可知,积分最大取值为1.),而项目B 的总评分在区间[0.21-0.25,0.21+0.25]内,即[0,0.46](因为由模糊积分的有界性可知,积分最小取值为0).即采用Sugeno积分时得到的决策结果仍然是项目A.2种模糊积分的决策结果相同.采用Sugeno积分时,实际计算的项目A,B的总评分分别为0.7,0.3.
定理1表明,对于多指标决策问题,当一种模糊积分的决策结果比较清晰时(0.81与0.21的差别比较大的情况),那么2种模糊积分的决策结果是一样的.此时不用费力地去选择模糊积分,而是应该着重研究、分析系统的其他方面,例如指标的增减、指标的重要性是否恰当等等.
4 结论
本文证明了在多指标决策、多分类器融合环境下Sugeno积分和Choquet积分之间的不等式关系.不等式表明在决策结果比较清晰时2种模糊积分的决策结果是一致的,此时应当将更多的精力用于指标的增减或者分类器的增减,以及模糊测度的定义方面.
以Sugeno积分和Choquet积分之间的不等式关系为基础,下一步可以围绕如何找到一个指标将决策问题分成2类,一类是2种积分的结果相同的问题,另一类是2种积分的结果不同的问题,并比较在结果不同的一类问题中,哪种积分的结果更合理.这些结果将对模糊积分的应用提供帮助.
[1] SUGENO M.Theory of fuzzy integrals and its applications[D].Tokyo:Tokyo Institute of Technology,1974.
[2] SUGENO M,MUROFUSHI T.Choquet integral as an integral form for a general class of fuzzy measures[Z].Proceedings of Second IFSA Congress,Tokyo,1987.
[3] 尤翠莲,王根森.一类新的模糊积分的性质[J].河北大学学报:自然科学版,2011,31(4):337-340.YOU Cuilian,WANG Gensen.The properties of a new kind of fuzzy integral[J].Journal of Hebei University:Natural Science Edition,2011,31(4):337-340.
[4] 李雪非,顾志华,冯慧敏.模糊积分分类器中的自适应模糊测度[J].河北大学学报:自然科学版,2012,32(4):342-348.LI Xuefei,GU Zhihua,FENG Huimin.Self-adaptive fuzzy measure for fuzzy integrals classifiers[J].Journal of Hebei University:Natural Science Edition,2012,32(4):342-348.
[5] GRABISCH M,SUGENO M.Multi-attribute classification using fuzzy integral[Z].1st IEEE International Conference on Fuzzy Systems,San Diego,1992.
[6] GRABISCH M.Fuzzy integral in multicriteria decision making[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,69:279-298.
[7] 王熙照.模糊测度和模糊积分及在分类技术中的应用[M].北京:科学出版社,2008.
[8] ANDREY Temko,DUSAN Macho,CLIMENT Nadeu.Fuzzy integral based information fusion for classification of highly confusable non-speech sounds[J].Pattern Recognition,2008,41(5)41:1814-1823.
[9] WANG Lijuan.An improved multiple fuzzy NNC system based on mutual information and fuzzy integral[J].International Journal of Machine Learning and Cybernetics,2011,2(1):25-36.
[10] WANG Zhenyuan,GEORGE J KLIR.Fuzzy measure theory[M].New York:Plenum Press,1992.
[11] MUROFUSHI T,SUGENO M.Fuzzy measures and integrals[M].New York:Pyhsica Verlag,2000.