数学与逻辑_参考网

数学与逻辑

2013-07-23郝一凡马乾凯

沈阳大学学报(社会科学版) 2013年3期

关键词：数理逻辑逻辑学中学数学

郝乐，郝一凡，马乾凯

（1.沈阳大学a.经济学院，b.理学院，辽宁沈阳 110044；2.沈阳市数学会，辽宁沈阳 110044）

数学是探讨空间形式、研究数量关系的科学，逻辑学是研究思维规律的科学。在某种意义上说，数学和逻辑学是相互支撑的两个学科，因为它们所处理的题材都是抽象的感觉表象，是纯粹抽象的东西。

很长一段时间，甚至是现在，仍然有人把数学归属于自然科学范畴，而把逻辑学归属于社会科学范畴，我认为这是不科学的，至少是不确切的。按照数学和逻辑学研究的对象，它们都应该属于一门与自然科学及社会科学并列的、独立的基础学科——思维科学。

形式主义和逻辑主义的主要区别在于：逻辑主义把数学看做是有限的，可以从有限的逻辑规则中得到我们研究的全部数学；但形式主义则认为数学是可以无限扩充的（通过建立新的公理）。所以，逻辑是研究数学的重要方法和基础，但不是数学的全部。

反过来，数学也不能包括逻辑的全部，逻辑学主要是（至少曾经是）哲学的一支，它不仅研究逻辑命题的推演关系，也研究这种关系为什么是对的，逻辑学中影响数学的主要是形式逻辑和数理逻辑，但涉及哲学思辨的部分就不在数学的范畴之中了。

数学的逻辑思维是唤醒人类理性精神的最主要的动力之源，也是人们所以追求超越可感知事物的理性世界的主要根源［1］。虽然数学和逻辑学都属于思维科学，但它们仍然是两个不同的学科，人们很多时候会把数学和逻辑联系在一起，是因为它们的“交集”很广泛。社会里面很多东西都有相互连接的部分，不能绝对的割裂开来。

一、数学与逻辑学的有机结合

数学思维过程是一个严格的符号推演过程［2］。数理逻辑是数学和逻辑学有机结合的产物，它开始于17世纪后期，当时古典形式逻辑的不足之处已为某些逻辑学者所理解，数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。人们感到演绎推理和数学计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。

数理逻辑可以在更精确的程度上和更广泛的范围内处理普通形式逻辑所难以处理的逻辑问题.数理逻辑作为使用符号语言和数学方法来研究演绎推理和证明的科学，从17世纪70年代德国数学家、哲学家莱布尼兹提出之后，发展至今已有300多年历史.在它的发展过程中，由逻辑数学化到数学逻辑化，始终将逻辑的内容和数学的内容交织在一起.从20世纪开始，特别是罗素和怀德海合著的《数学原理》发表之后，数理逻辑取得了迅速的发展.现在，人们认为数理逻辑由逻辑演算、证明论、模型论、递归论、集合论组成.而本文研究的是命题逻辑，把问题抽丝剥茧，理清头绪，让逻辑清晰化、明朗化，从而解决问题。

数理逻辑在数学中应用广泛.中学数学中的许多问题都可以用它来说明，比如命题的条件与结论之间的关系，也就是充分、必要和充要条件.我们也可以用数理逻辑中的条件命题、蕴含等概念定义它们，把高等方法应用到初等问题当中。

此外，数理逻辑也为逻辑推理提供了有力的理论依据，例如：

某公安机关根据案情分析判断出犯罪嫌疑人A、B、C三人中有如下关系：

若A 无罪，则B和C都有罪；

要么A 无罪，要么B有罪；

要么B无罪，要么C无罪；

试问公安机关怎样进一步断案：到底谁有罪，谁无罪？

事实上，可以应用数理逻辑知识来解决这类问题：

设A 表示A 有罪，则瓙A 表示A 无罪，B、C同样，根据条件则有：

于是得出结论：嫌疑人A、B 有罪，而嫌疑人C无罪。

二、身边的逻辑

一个人的逻辑思维能力是十分重要的，关系到学习和工作的成效，甚至关系到事业的成败。然而，现实生活中违背逻辑的现象却经常发生：

一部电视剧中有夫妻二人对话的一个场面：丈夫对妻子说：“没有爱情的婚姻是不幸福的”，妻子答道：“我们很相爱，也没看我们咋幸福啊”。很明显妻子把必要条件混淆成充分条件了。

又是一部电视剧中的场面：四名大学生毕业后参军来到军营，心情激动不已，一同蹬上长城，其中一人感慨万千：“不到长城非好汉！如今我们到了长城，我们也是好汉啦！”很显然，编剧缺乏逻辑常识，“不到长城非好汉”是说：“到长城是成为好汉的必要条件”而不是说“到了长城就是好汉”。“不到长城非好汉”与“到了长城是好汉”是互否的两个命题，这两个命题根本不是等价的。

还是一部电视剧中的情景：一老者为一对青年男女做红娘，男青年嫌女青年不漂亮，老者为了促成这对婚姻，劝男青年道：“发光的不一定是金子”，（是正确的）但想一想如果男青年回答“不发光的一定不是金子”，那老者的红娘还能做成吗！

沈阳大学理学院的院训：“冥思苦索之后，才会有灵机一动”。命题的这种表述是指冥思苦索是灵机一动的必要条件，即没有冥思苦索就没有灵机一动，或者说要想灵机一动必须冥思苦索；但如果命题改为：“冥思苦索之后，就会有灵机一动”。那问题就不一样了，冥思苦索就变成灵机一动的充分条件了，即只要冥思苦索就会有灵机一动，这一字之差导致命题的性质就变了。

普及逻辑知识非常重要，甚至可以说，普及逻辑知识对提高整个国民素质都非常关键。思维是人们每天都要进行的活动，上到国家领导，下到普通百姓，无一例外。思维是否清晰，是否严谨，是否合乎逻辑规律，关系到学习和工作的成效，关系到事业的成败.而要提高自己的思维能力，除了学习逻辑的基本知识、接受必要的思维训练以外，没有其他的途径。

三、培养逻辑思维能力是数学教育的一项根本任务

一个人逻辑思维能力的形成应该归功于他接受的数学教育，事实上，如果一个人有接受高等教育的机会，那么他可能在这个阶段有机会学习逻辑学这门课程，但如果他没有接受高等教育的机会，那他只能在中学数学中接触到有关形式逻辑的一些基本知识，而即使在高等教育阶段也不是所有专业都开设逻辑学课程的，况且不是每个人都能得到接受高等教育的机会，因此，中学数学教育对培养人的逻辑思维能力就显得格外的重要。

中学数学中，命题的条件与结论之间的相互关系，常用“充分条件”“必要条件”和“充要条件”来表述，这些表述可以具体的揭示数学对象的判定和本质特征.正确地理解和运用这些知识，既是解题的基础，也是培养逻辑思维能力的重要手段。

提到数学教育，人们往往把眼光盯在数学概念、公式等数学知识和计算能力方面，其实这是片面的。实际上，逻辑思维能力的培养是数学教学的一项根本任务，这也正是现代化社会发展所迫切需要的［3］。正确迅速的运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力是学生必须具备的数学能力。数学在科学和文化的发展中具有无可比拟的作用。不仅如此，它既是高度抽象的理论性学科，又是一门应用广泛的工具性学科，任何一门科学，只有当它充分地运用数学时，才能达到真正完善的地步，这一点已被越来越多的事实所证明。虽然还不能说数学是万能的，但是可以讲，科学离开数学是万万不能的。数学在培养人的思维方面，具有其他学科无法替代的功能。在当今瞬息万变的现代社会，已有越来越多的数学教育工作者深刻认识到，数学教学不仅仅是传授数学知识，更重要的是对于培养学生的思维能力和创造能力将起着重要作用。人的记忆是有限的，随着时间的流逝，当你学过的数学公式和数学定理都被忘掉的时候，数学教育培养出来的逻辑思维能力会发挥重要的作用。具有较强思维能力创造能力的人，不但能适应各种工作岗位的需要，而且工作也会更出色。

影响学生逻辑思维发展的因素很多，如何利用数学教学培养学生的逻辑思维能力，有许多问题值得探讨，而教师的指导思想正确与否极其重要。如果只重视数学结论忽视思考过程，只重视记忆，忽视理解，那么学生在解题时只会机械模仿，缺乏触类旁通和解决实际问题的能力。素质教育应着眼于使学生“会学”，“会学”才能出人才。一个人即使是数学专业本科毕业，数学词典中的知识点最多也只能认识五分之一，甚至更少。大量的知识是靠今后的自学。自学就得会学，“会学”的关键在于思维，教学中要善于启发学生分析推理，学会发散思维。引导学生多角度，多层次的思考探讨问题，这也是训练学生逻辑思维能力和创新思维能力的有效途经之一。故教学中一方面要引导学生运用正确的思维方法去获得知识；另一方面要精心设计练习题，启发学生按逻辑顺序去思考问题。学生通过分析、综合、比较、抽象、概括和具体化等思维活动来实现，由特殊到一般和由一般到特殊的归纳法和演绎法的逻辑顺序来进行。学生的兴趣盎然，始终处于积极的思维状态之中［4］。

逻辑思维能力的形成和发展，要靠教师的长期培养和训练，贯穿于各个环节、名个阶段之中，不仅新概念、新知识的教学要培养，而且练习、复习、考试也要培养，老师不仅在拟定计划时要考虑知识要求，还要考虑到达到思维能力的指标。

数学是思维的体操，教师在教学的过程中，要纠正数学的主要作用就是为了计算，学习数学的最终目的就是为了考试等错误的认识，要介绍数学与其他自然科学及交叉学科之间的联系，使学生感到数学的应用价值和社会需要［5］。