爷爷年龄中的秘密

赵国瑞

在《趣味数学大全》上面有这样一道趣题：小明的年龄乘4，加上65，减去小明年龄的3倍，再加上15，再减去小明的年龄，得到的数就是爷爷的年龄，那么爷爷多少岁？

如果知道小明的年龄，那么我们可以轻松地算出爷爷的年龄，然而题目并没有告诉小明的年龄，这使得我们无从下手.应该怎么办呢？

假定小明还是一个7岁的小学生，那么爷爷的年龄应该是7×4+65-7×3+15-7=80（岁）.假定小明已是13岁的初中生，那么爷爷的年龄应该是13×4+65-13×3+15-13=80（岁）.假定小明是16岁的高中生，那么爷爷的年龄应该是16×4+65-16×3+15-16=80（岁）.假定小明刚出生，此时他的年龄是1岁（注意：刚出生是1岁，而不是0岁！），仍然可以得出爷爷的年龄是80岁！我们干脆一不做，二不休，假定小明是0岁，竟然还可以得出爷爷的年龄是80岁！五种情况下所得的结果竟然完全一样！

这真是一道怪题！试试看用所学的整式知识能不能揭穿这道题的怪异之处.假设小明的年龄是a岁，那么根据题目的意思，爷爷的年龄就是4a+65-3a+15-a=80（岁）.原来爷爷的年龄与小明的年龄无关！

我们把类似上面的问题叫做“无关”型问题.所谓“无关”型问题，就是某一整式的值与其所含字母或部分字母无关的问题.那么怎样解答这类“无关”型问题呢？一些同学不知从何下手，其实很简单.假设某一整式的值与字母x无关，那么无论x取任意值，该整式的值都不变.根据“0乘任何数都得0”，于是我们可先合并所有含字母x的项的系数，然后令字母x的系数为0即可.

例1 已知2a-b=1，如果6a-nb+2010的值与a的值无关，你能求出n的值吗？并求出6a-nb+2013的值.

分析：由于6a-nb+2010的值与a的值无关，可先根据已知条件，用含a的式子表示b，然后再将式子6a-nb+2010中的b用含a的式子进行代换，最后合并含a的项，令系数等于0即可.

解：由2a-b=1，得b=2a-1.

将b=2a-1代入6a-nb+2010中，

得6a-nb+2010=6a-n（2a-1）+2010=6a-2na+n+2010=（6-2n）a+n+2010.

由于6a-nb+2010的值与a的值无关，所以6-2n=0，即n=3.

此时6a-nb+2010的值为3+2010=2013.

则6a-nb+2013=2013+3=2016.

例2 已知：M=-3p2+pq+2p-1，N=4p2-2pq+1，且无论p取何值，4M+3N的值都不变，求q的值.

分析：由题意知4M+3N的值与p无关.所以可先将M=-3p2+pq+2p-1，N=4p2-2pq+1代入4M+3N中，然后再合并含p的项，令系数等于0即可.

解：因为4M+3N=4（-3p2+pq+2p-1）+3（4p2-2pq+1）=-2pq+8p-1=（-2q+8）p-1.

由题意知4M+3N的值与p无关，所以-2q+8=0，即q=4.

例3 在学完合并同类项后，李老师给学生出了这样一道题：当m=0.35，n=-0.28时，求多项式7m3-6m3n+3m2n+3m3+6m3n-3m2n-10m3-2的值.

题目出完后，同学们都认真进行了解答.过了一会儿，小明说：“老师给出的条件m=0.35，n=-0.28是多余的.没有这个条件，也能求出多项式的值.”小强马上反对说：“这不可能，多项式中含有m和n，不给出m、n的值怎么能求出多项式的值呢？”

两人争论不休，都认为自己的观点是对的.你同意哪位同学的观点？请说明理由.

分析：要看哪位同学说得有道理，关键是看多项式的值是否与m、n有关，这只需要看含有m和n的项的系数合并后是否都等于0.

解：因为7m3-6m3n+3m2n+3m3+6m3n-3m2n-10m3-2=（7+3-10）m3+（-6+6）m3n+（3-3）m2n-2=-2.

可见含字母m和n的项都已消去，即这个多项式的值与m、n无关.

事实上，无论m、n的值等于多少，多项式的值都不变，恒等于-2.

所以小明的观点正确.

例4 “蓝星电脑”店有A型电脑和B型电脑共120台，A型电脑每台4000元，B型电脑每台2520元.我市诸葛亮中学购买了全部B型电脑和部分A型电脑.经过核算后发现应付款的总数与A型电脑的数目无关.则购买部分A型电脑数是A型电脑总数的百分之几？各买了A型电脑和B型电脑多少台？

分析：可设“蓝星电脑”店有A型电脑x台，诸葛亮中学购买了A型电脑总数的a%，可先表示出付款总数.由于付款总数与A型电脑的数目无关，因此x的系数必然等于0.

解：设“蓝星电脑”店有A型电脑x台，则有B型电脑（120-x）台，诸葛亮中学购买了A型电脑总数的a%，则应付总款为4000·x·a%+2520（120-x）=302400+（40a-2520）x.

∵总付款与x无关，即x的系数应为0，

所以40a-2520=0，解得a=63，即诸葛亮中学购买了A型电脑总数的63%.

因为63% x为整数且0

120-x=120-100=20.

所以诸葛亮中学购买了A型电脑总数的63%，买了A型电脑63台，B型电脑20台.

练习：

1.已知：A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2+xy-1，且3A+6B的值与x无关，求y的值.

2.非洲某国王为了获得贫穷老百姓的支持，决定施舍国民中的每个男人2美元，每个女人1.4美元.某村里共有成年人口3000人，儿童忽略不计，国王施舍的时候，有部分男人外出打猎去了，假设国王施舍钱的总数与村庄里的男人数无关，那么外出打猎的男人占村庄里男人的百分之几？国王一共施舍了多少钱？

参考答案：

1. 0.4.

2.外出打猎的男人数占村庄里男人总数的30%，国王一共施舍了4200美元.