不等式（组）中蕴含的数学思想

李景财

同学们在学习数学的基础知识、基本技能的过程中，要加强数学思想方法的渗透，要在分析解决问题的过程中揭示数学思想方法.本文以七年级数学第九章《不等式与不等式组》为例，谈谈其中蕴含的数学思想.

一、类比思想

学习一元一次不等式可类比一元一次方程的知识.下面从求解步骤及解集等方面进行类比.

例1 （1）解方程 x+■=1-■，并把它的解集在数轴上表示出来.

（2）解不等式x-■≥■-■，并把它的解集在数轴上表示出来.

解析：（1）去分母，得6x+（x+2）=6-3·（2x-3）.

去括号，得6x+x+2=6-6x+9.

移项，得6x+x+6x=6+9-2.

合并同类项，得13x=13.

系数化为1，得 x=1.

此方程的解集只有一个数1，在数轴上表示如图1.

图1

（2）去分母，得6x-2（5+2x）≥3（3x-1）-14.

去括号，得6x-10-4x≥9x-3-14.

移项，得6x-4x-9x≥-3-14+10.

合并同类项，得-7x ≥-7.

系数化为1，得x≤1.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图2.

图2

点评：从求解步骤看：两者都是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤；但在去分母和系数化为1这两步，当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变，而方程等号不变.

从解集看：一元一次不等式的解集可能包含无数个解，在数轴上用无数多个点的集合形象表示；而一元一次方程的解集一般只有一个解，在数轴上用一个点表示.

类比便于同学们理解知识之间的区别与联系，便于在学习过程中不断构建和完善知识体系，有利于迁移能力的发展.

二、分类讨论思想

例2 解关于x的不等式组

ax-4<8-3ax，（a+2）x-2>2（x-ax）+4.

解析：原不等式组可化为

4ax<12， ①3ax>6. ②

当a>0时，由① 、②可将不等式组化为x<■， x>■.

又∵3>2，■>0，∴■>■.

∴原不等式组的解集为■

当a<0时，由①、 ②可将不等式组化为x>■， x<■.

又∵3>2，■<0，∴■<■.

∴原不等式组的解集为■

当a=0时，由①、 ②可将不等式组化为

0·x<12，0·x>6.

∴原不等式组无解.

综上所述，当a>0时，原不等式组的解集为■

当 a<0时，原不等式组的解集为■

当 a=0时，原不等式组无解.

点评： 此不等式组的解集与未知数的字母系数有关，应该用分类思想讨论字母系数的取值范围，再根据取值范围分别求其解集.

三、转化思想

例3 关于x的不等式（2a-b）x>a-2b ① 的解集是x<■，求关于x的不等式ax-b<0 ②的解集.

解析：∵①的解集是x<■，

∴2a-b<0， x<■.

∴■=■.

整理，得b=8a.

∵2a-b<0， ∴2a-8a<0，

∴a>0.

把b=8a代入②中， 得ax<8a，

∴x<8.

∴不等式②的解集为x<8.

点评：本题通过转化的思想，用不等式①的两个不同形式的解集，来建立a、b的等量关系，整理得出b=8a，实现了不等关系向等量关系的转化.把b=8a代入2a-b<0中，确定字母a的正负，再把b=8a代入②中，消除字母b，再次体现了消元转化的思想.

四、数形结合思想

例4 已知关于x的不等式组x-a≥0，5-2x>1只有四个整数解，求实数a的取值范围.

解析：解不等式组，得x≥a，x<2.

因原不等式组的整数解只有4个，说明x≥a与x<2在数轴上有公共部分，且公共部分包含的整数如图3所示，即 -2、-1、0、1 .

图3

所以a的取值范围是-3

点评：根据数形结合思想，先借助数轴直观地找到不等式的四个整数解，再确定a在数轴上的位置在-3与-2之间，且包含-2，由形得数，得出a的取值范围.

数学思想蕴含于数学知识之中，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.