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一道与正方形有关的几何题的几种解法

2013-07-22朱宜新

语数外学习·上旬 2013年5期
关键词:外角平分四边形

朱宜新

同学们自己发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心,归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法. 那么如何培养同学们的创新能力呢?一题多解是培养创新意识的有效途径.下面对一道与正方形有关的题目作一题多解,希望对提高同学们的创新能力有所帮助.

如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的任一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F. 求证:AE=EF.

图1

方法一:构造全等三角形

证明:如图2,在AB上取一点H,使BH=BE,连接EH.

图2

因为∠B=90° , 所以∠BHE=∠BEH=45° .

所以∠AHE=135°.

因为CF平分∠DCG,

所以∠DCF=45°,所以∠ECF=90°+45°=135°.

即∠AHE=∠ECF.

因为AB=BC ,所以AB-BH=BC-BE.

即AH=EC .

因为AE⊥EF,

所以∠AEB+∠FEC=90°.

又因为∠BAE+∠BEA=90°,所以∠BAE=∠CEF.

所以△AHE≌△FCE,所以AE=EF.

方法二:利用等角对等边的性质

证明:如图3,延长FC交AB的延长线于点H,连接EH.

图3

因为FC平分∠DCG ,所以∠BCH=∠FCG=45°.

又因为∠CBH=∠ABC=90° ,所以∠BHC=45°.

所以BH=BC=AB,所以BE是AH的垂直平分线.

即AE=EH,所以∠1=∠2.

又因为AE⊥EF,所以∠3+∠4=90°.

因为∠1+∠3=90°,所以∠1=∠4,所以∠2=∠4.

又因为∠4+∠F=45° ,∠2+∠EHC=45°,

所以∠F=∠EHC ,所以EF=EH,

即AE=EF.

方法三:构造辅助圆

证明:如图4,连接AC、AF.

图4

因为四边形ABCD是正方形,所以∠ACD=45°.

又因为CF平分∠DCG,所以∠DCF=45°.

即∠ACF=90° .

又因为∠AEF=90°,

易知点A、E、C、F在以AF为直径的圆上.

根据同弧所对的圆周角相等,得∠AFE=∠ACE=45°.

所以∠EAF=45°,所以AE=EF.

方法四:利用对称性

证明:如图5,作△ECF关于BG的对称图形△ECH.

连接AC,易知A、C、H三点共线.

图5

因为AE⊥EF ,所以∠3+∠5=90°.

又因为∠2+∠5=90°,所以∠2=∠3=∠4.

因为∠1+∠2=45°,∠4+∠H=45°,

所以∠1=∠H,所以AE=EH.

又因为EF=HE,所以AE=EF.

方法五:利用勾股定理

证明:如图6,过F作FH⊥BG,垂足为H.

图6

设AB=BC=a,EC=b,则BE=a-b,

设FH=CH=c,则EH=b+c.

在Rt△ABE中,AE 2=AB 2+BE2=a2+(a-b)2.

在Rt△EFH中,EF 2=FH2+EH 2=c 2+(b+c)2.

因为△ABE∽△EFH,所以■=■,

即■=■,

整理得a-b=c,a=b+c.

即a2+(a-b)2=a2+c2 ,

c2+(b+c)2=c2+a2,

所以AE2=EF 2 ,即AE=EF.

创新不是简单的重复、模仿.同学们在解题时,要充分思考,从不同的角度、不同的途径、使用不同的方法得到答案,然后分析每一种证法,从中进行解法优劣的比较与取舍,从而培养同学们的积极性、主动性和创新能力.

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