多元微积分中方向导数不同定义的分析与探讨

2013-06-07刘雄伟

湖南人文科技学院学报 2013年2期

刘雄伟

(国防科技大学理学院，湖南长沙 410073)

方向导数在实际生活和理论、方法研究中有着十分广泛的应用。由于在不同的教材和参考书中出现有不同的定义形式和描述形式，很容易让学生在学习过程中产生困惑。因此，在实际的课堂教学过程中，应该加强不同定义和描述形式的讨论与分析，同时加强前后教学内容的联系与考虑实际应用的需求，这样才能让学生真正、有效地理解和掌握相关的理论与方法，从而激发他们学习数学、探索数学和应用数学的积极性和主动性，增强学好数学的信心。

1 方向导数的不同定义

定义1［1］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某邻域内有定义，向量u 对应的单位向量为u°= {cosα，cosβ }，其中α，β 为向量u 的方向角。定义函数f(x，y) 在点(x0，y0) 沿方向u 的方向导数为：

其中，ρ 可正可负。ρ＞0 时，表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离，ρ＜0 表示自变量沿方向u 反向移动的距离。

定义2［2］在前提条件与定义1 相同的情况下，定义方向导数为：

其中，ρ 表示自变量从(x0，y0) 沿着方向u 移动的距离。

定义3［3］设二元函数f(x，y) 在点(x0，y0)的某领域内有定义，单位向量u=(a，b) ，定义方向导数为：

以上定义很容易推广得到n(n≥3) 元函数的方向导数定义。

2 方向导数不同定义的对比与分析

方向导数研究和讨论的初衷是为了解和分析多元函数沿着某个方向的变化率，即为了度量事物按照不同变化因素的发展趋势。一般来说，就二元函数而言，如果表示的曲面是平滑曲面，则利用三个定义都可以得到函数沿着指定方向u 的变化率。

根据三个定义式，它们的极限值反映的都只是函数沿着方向u 的变化率。虽然定义1和定义3 从数学的角度上，从定义形式上可以很容易地和偏导数的定义联系起来，可以认为是偏导数定义的一种推广，偏导数只是函数沿着两个特定方向的方向导数。但是，在现实问题中，比如在分析某个有断崖或者沿着某个方向不平滑过渡的地势时，这两个定义会导致问题无法解决，而定义2 则能很好的进行解释。如要讨论表示上锥面的二元函数：

在原点(0，0)沿着不同方向的变化率。利用定义1 和定义3，该二元函数f(x，y)沿着任何方向的方向导数都不存在。但是对于对应现实问题来说，对于连续的曲面，结论显然是不对的。而根据定义2，则问题可以得到很好解决。在原点位置，沿着任何方向函数的变化率都可以求出，并且都等于1。只是该定义不能和偏导数的定义很好的结合起来，但是与偏导数只是反应了函数沿着坐标轴正方向的变化率的结论是一致的，而且在现实问题中具有更大的实用价值。因此，就学习数学是用来解决现实问题的目标之一来说，定义2更具有实用价值和符合教学与学习应该贴近生活的认知规律。因此，下面的讨论也是基于定义2进行的。

3 方向导数计算的注意事项

在不同的教材中都以定理的形式给出了多元函数方向导数存在的充分条件与快速计算方法。以二元函数为例，如果函数f(x，y)在(x，y)处可微，则函数在该点处沿着任意方向u 的方向导数存在，并且有：

其中cosα，cosβ 为向量u 的方向余弦。

值得注意的是，使用该公式计算函数的方向导数的前提条件是函数可微。然而，函数即使不可微，甚至两个偏导数都不存在时，函数的方向导数都可能存在，这个时候方向导数的计算则应该使用定义式进行计算。如二元函数(1)，在原点(0，0)处不可微，两个偏导数也不存在，但根据定义2 容易验证该函数在原点处沿着任意方向的方向导数都存在，并且都为1。而函数只要沿某一方向的方向导数不存在，函数就不可微。当然函数不可微，对于方向导数的计算有时候也可以使用(2)来进行计算，如函数［4］：