树的Estrada指数的近似计算
2013-06-01朱业春杜文学
朱业春,杜文学
(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)
1 引言
不难看出A(G)是一个对称的(0,1)-矩阵,故它的n个特征值均为实数.记作:λ1≥λ2≥…≥λn.
2000年Estrada在文献[1]中引入了一个度量高分子长链的折叠度的指标,这个指标后来被称为图的Estrada指数.定义为
近年来,许多学者对图的Estrada指数都进行了研究.Estrada指数已经被广泛地应用于分子化学、量子化学、信息科学、复杂网络等领域.比如:利用它,可以定量地刻画折叠的长链聚合物分子的度,尤其对蛋白质分子更为有效[2-3].另外,有人将Estrada指数与广义的原子轨道联系在一起,作了相应地研究[4].2008年,Carbó‐Dorca指出了Estrada指数与Shannon熵之间存在的关系[5].此外,Estrada和Rodríguez‐Velázquez在对网络的集中性进行研究的过程中,证明了Estrada指数在其中起到很大的作用[6-7].
以上皆为Estrada指数的实际应用,除此之外,也有很多学者对它在理论上进行过研究.Deng等人于2009年作了一篇关于Estrada指数的综述性文章[8],对Estrada指数的界作出了研究.拿n阶矩阵来说,即使对较为简单的矩阵,计算Estrada指数都很难,所以相对于研究图的Estrada指数本身的性质,多数学者使用代数方法以及初等分析不等式对Estrada指数的界作出了估计[9,10,11].更多相关的结果,感兴趣的读者可以参见文章[12-13].
但是在许多描述图的谱矩和Estrada指数的界中,能达到较好效果的图是少数的,而且大多数得出的上下界范围过大.为了部分地弥补这个缺陷,通过一定的方法,本文从理论上刻画了Estrada指数的近似计算值.
2 T(n,)的 Estrada指数
先介绍常数N1,N2.根据Stirling公式:m充分大时,
所以对任意给定的c1<1 把其中最小的整数K作为N2. 成立,则 因此, 令 我们已经知道, 易知 其中(3)到(4)的推导利用了(1)式,所以N1 即 成立,则 所以有 则 所以有 根据第2节,易知: 所以 因此,求带叶子顶点l情景下的K完全类比于前面, [1]E.Estrada,Characterization of 3D molecular struture[J].Chem.Phys.Lett., 2000,319:713-718. [2]E.Estrada,Characterization of the folding degree of proteins[J].Bioinformatics ,2002(18): 697-704. [3]E.Estrada,Characterization of the amino acid contribution to the folding degree of proteins[J].Proteins,2004(54):727-737. [4]E.Estrada,J.A.Rodríguez‐Velázquez and M.Randi c',Atomic branching in molecules[J].Int.J.Quantum Chem.,2006,106:823-832. [5]R.Carbó-Dorca,Smooth function topologicalstructure descriptors based on graph spectra[J].J.Math.Chem,2008(44):373-378. [6]E.Estrada and J.A.Rodríguez‐Velázquez,Subgraph centrality in complex networks[J].Phys.Rev.E,2005(71):056103-1-9. [7]E.Estrada and J.A.Rodríguez‐Velázquez,Spectral measures of bipartivity in complex networks[J].Phys.Rev.E,2005(72):046105-1-6. [8]H.Deng,S.Radenkovi c'and I.Gutman,The Estrada index[M]//D.Cvetkovi,I.Gutman.Applications of Graph Spectra,Belgrade:Math.Inst.,2009:123-140. [9]H.Bamdad,F.Ashraf and I.Gutman,Lower bounds for Estrada index and Laplacian Estrada index[J].Applied Mathematics Letters,2010(23):739-742. [10]I.Gutman and S.Radenkovi c',A lower bound for the Estrada index of bipartite molecular graphs[J].Kragujevac J.Sci.,2007(29):67-72. [11]B.Zhou,On Estrada index[J].MATCH Commun.Math.Comput.Chem.,2008(60):485-492. [12]I.Gutman and A.Graovac,Estrada index of cycles and paths[J].Chem.Phys.Lett.,2007,436:294-296. [13]I.Gutman,S.Radenkovi c',B.Furtula,T.Mansour and M.Schork,Relating Estrada index with spectral radius[J].J.Serb.Chem.Soc.,2007(72):1321-1327. [14]D.Cvetkovi,M.Doob and H.Sachs,Spectra of Graphs‐Theory and Application [M].3rd ed.,Johann Ambrosius Barth Verlag:Heidelberg,Leipzig,1995.3 T(n,,l)的 Estrada指数