树的Estrada指数的近似计算

朱业春，杜文学

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

1 引言

不难看出A(G)是一个对称的(0,1)-矩阵,故它的n个特征值均为实数.记作:λ1≥λ2≥…≥λn.

2000年Estrada在文献[1]中引入了一个度量高分子长链的折叠度的指标,这个指标后来被称为图的Estrada指数.定义为

近年来,许多学者对图的Estrada指数都进行了研究.Estrada指数已经被广泛地应用于分子化学、量子化学、信息科学、复杂网络等领域.比如:利用它,可以定量地刻画折叠的长链聚合物分子的度,尤其对蛋白质分子更为有效[2－3].另外,有人将Estrada指数与广义的原子轨道联系在一起,作了相应地研究[4].2008年,Carbó‐Dorca指出了Estrada指数与Shannon熵之间存在的关系[5].此外,Estrada和Rodríguez‐Velázquez在对网络的集中性进行研究的过程中,证明了Estrada指数在其中起到很大的作用[6－7].

以上皆为Estrada指数的实际应用,除此之外,也有很多学者对它在理论上进行过研究.Deng等人于2009年作了一篇关于Estrada指数的综述性文章[8],对Estrada指数的界作出了研究.拿n阶矩阵来说,即使对较为简单的矩阵,计算Estrada指数都很难,所以相对于研究图的Estrada指数本身的性质,多数学者使用代数方法以及初等分析不等式对Estrada指数的界作出了估计[9,10,11].更多相关的结果,感兴趣的读者可以参见文章[12－13].

但是在许多描述图的谱矩和Estrada指数的界中,能达到较好效果的图是少数的,而且大多数得出的上下界范围过大.为了部分地弥补这个缺陷,通过一定的方法,本文从理论上刻画了Estrada指数的近似计算值.

2 T(n,)的 Estrada指数

先介绍常数N1,N2.根据Stirling公式:m充分大时,

所以对任意给定的c1<1

把其中最小的整数K作为N2.

成立,则

因此,

令

我们已经知道,

易知

其中(3)到(4)的推导利用了(1)式,所以N1

即

3 T(n,,l)的 Estrada指数

成立,则

所以有

则

所以有

根据第2节,易知:

所以

因此,求带叶子顶点l情景下的K完全类比于前面,

[1]E.Estrada,Characterization of 3D molecular struture[J].Chem.Phys.Lett.， 2000，319：713-718.

[2]E.Estrada,Characterization of the folding degree of proteins[J].Bioinformatics ，2002（18）： 697-704.

[3]E.Estrada,Characterization of the amino acid contribution to the folding degree of proteins[J].Proteins,2004（54）：727-737.

[4]E.Estrada,J.A.Rodríguez‐Velázquez and M.Randi c',Atomic branching in molecules[J].Int.J.Quantum Chem.,2006,106:823-832.

[5]R.Carbó-Dorca,Smooth function topologicalstructure descriptors based on graph spectra[J].J.Math.Chem,2008(44):373-378.

[6]E.Estrada and J.A.Rodríguez‐Velázquez,Subgraph centrality in complex networks[J].Phys.Rev.E,2005(71):056103-1-9.

[7]E.Estrada and J.A.Rodríguez‐Velázquez,Spectral measures of bipartivity in complex networks[J].Phys.Rev.E,2005(72):046105-1-6.

[8]H.Deng,S.Radenkovi c'and I.Gutman,The Estrada index[M]//D.Cvetkovi,I.Gutman.Applications of Graph Spectra,Belgrade:Math.Inst.,2009:123-140.

[9]H.Bamdad,F.Ashraf and I.Gutman,Lower bounds for Estrada index and Laplacian Estrada index[J].Applied Mathematics Letters,2010(23):739-742.

[10]I.Gutman and S.Radenkovi c',A lower bound for the Estrada index of bipartite molecular graphs[J].Kragujevac J.Sci.,2007(29):67-72.

[11]B.Zhou,On Estrada index[J].MATCH Commun.Math.Comput.Chem.,2008(60):485-492.

[12]I.Gutman and A.Graovac,Estrada index of cycles and paths[J].Chem.Phys.Lett.,2007,436:294-296.

[13]I.Gutman,S.Radenkovi c',B.Furtula,T.Mansour and M.Schork,Relating Estrada index with spectral radius[J].J.Serb.Chem.Soc.,2007(72):1321-1327.

[14]D.Cvetkovi,M.Doob and H.Sachs,Spectra of Graphs‐Theory and Application [M].3rd ed.,Johann Ambrosius Barth Verlag:Heidelberg,Leipzig,1995.