神奇的魔术师

吕娟

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性又有实用性的具体结论.在数学中乘法公式好似一位神奇的魔术师，施展着“魔力”让数学趣味无穷.下面就让我们走进乘法公式的神奇世界，体验一下乘法公式“变形记”.

一、 拆拆巧“变形”

例1 计算992-100×98.

【分析】将100写为99+1，98写为99-1，恰好可以用平方差公式计算.

解： 992-100×98

=992-（99+1）（99-1）

=992-（992-1）

=1.

【点评】用乘法公式计算，首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式，一般地，给出的算式是可以写成公式所要求的形式的，可以利用乘法公式能简化计算.

【请你尝试】计算20■×19■；10.2×9.8-10.12.

例2 若a2+2a+b2-6b+10=0 ，求a，b的值.

【分析】拆项，将10拆成1+9两项，原多项式配方为（a2+2a+1）+（b2-6b+9），括号里的两个因式都是完全平方式，分别根据完全平方和、差公式分解因式；再利用完全平方式a2≥0的性质解答，即若A2+B2=0，则有A=0且B=0.

解：因为a2+2a+b2-6b+10=0，

所以（a2+2a+1）+（b2-6b+9）=0，即（a+1）2+（b-3）2=0.

则a+1=0，b-3=0.所以a=-1，b=3.

【请你尝试】若m2+n2-6n+4m+13=0，求m2-n2的值.

二、 添添也能行

1. 添括号

例3 计算：（a+b+5）（a-b-5）.

【分析】前后两个因式中所含的项仅仅是符号不同，于是可以通过添括号将其变形为平方差公式的形式.

解：原式=[a+（b+5）][a-（b+5）]

=a2-（b+5）2

=a2-b2-10b-25.

【请你尝试】计算：（a-b+c-d）（a+b+c+d）.

2. 添项

例4 计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216.

【分析】本题前面的连乘中后一个因式恰好是前一个因式里两个数的平方和，针对这一特点，只要在连乘因式前面添上（2-1）即可连续使用平方差公式.

解： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）-216

=（24-1）（24+1）（28+1）-216

=（28-1）（28+1）-216

=（216-1）-216

=-1.

【请你尝试】计算：（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）（732+1）.

三、 根据条件来变形

例5 已知a2-3a+1=0，求：（1） a+a-1；（2） a2+a-2.

【分析】将a2-3a+1=0进行变形，可求出a+a-1的值，然后逆用完全平方公式，可得出各个代数式的值.

解：因为a2-3a+1=0，且a≠0，所以a2+1=3a.

故a+a-1=3，a2+a-2=（a+a-1）2-2=7.

【请你尝试】已知a2-3a+1=0，求a4+a-4 的值.

四、 借用字母巧变形

例6 若x=123 456 789×123 456 786，y=123 456 788×123 456 787，试比较x、y的大小.

【分析】通过观察发现，x、y的各个因数都在123 456 788附近“徘徊”，不妨设123 456 788=a，则123 456 789=a+1，123 456 786=a-2，123 456 787=a-1.

解：设123 456 788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a.

因为x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2<0，所以x

【请你尝试】

1. 用以上的方法比较x=1.345×0.345×2.69，y=1.3453-1.345×0.3452的大小.

2. 已知M=2 010×2 012+4，N=2 0102-2 010×2 012+2 0122，请判断M、N的大小关系.