空射运载火箭点火姿态对运载能力影响的研究

高云逸 康永来

北京宇航系统工程研究所，北京 100076

空射运载火箭具有发射地点机动灵活，不需要地面发射场，运载能力高于地面发射等突出优势，是小型卫星发射，特别是应急发射的优良运载工具。载机的速度和高度可提高火箭飞行的初始高度和速度，对提高运载能力有明显作用。运载火箭在释放时具有与载机基本相同的高度和速度，经过分离运动过程后，运载火箭点火，点火时的位置、速度和姿态对火箭的弹道和运载能力有重要影响。因此，有必要针对点火姿态对飞行弹道和运载能力的影响进行研究。

空射运载火箭的弹-机组合方式可分为外挂式、内装式、背驮式、拖曳式4种，后2种方式目前仍有很多难以解决的问题，故现有空射运载火箭方案多应用前2种组合方式。外挂式空射运载火箭的典型例子是当前唯一在役的空射火箭—飞马座运载火箭，外挂式空射火箭的点火姿态多接近于水平。而世界上首次实现的火箭空中发射(1975年美国从C-5A运输机上发射民兵-1导弹)则采用了内装式组合方式，这种方式发射的火箭点火时俯仰角较大，接近于垂直。

本文将点火俯仰角作为设计变量，在一定的程序角模式下，采用序列二次规划法(Sequential Quadratic Programming, SQP)进行弹道优化，从而得到不同点火俯仰角下，同一火箭对同一目标轨道发射的最优弹道和运载能力，并据此分析了点火俯仰角对火箭飞行过程的影响。

1 空射运载箭-机组合方式及分离特点

1.1 外挂式

运载火箭发射前由载机外部固定装置挂载的箭机组合方式称为外挂式。外挂式空射运载火箭点火时姿态接近水平，这种初始姿态要求火箭在一级飞行段作大攻角的爬升飞行。

1.2 内装式

运载火箭在发射前装载在载机舱内的箭机组合方式称为内装式。内装式空射运载火箭与载机分离后，姿态变化较大。点火时间的选择不同，火箭的俯仰角和速度倾角变化很大。不同的点火状态对火箭运载能力有一定的影响。

2 弹道模型

考虑一枚三级固体运载火箭，三级固体发动机连续工作。火箭飞行的俯仰程序角如图1所示。点火后，先经过一段定轴飞行，之后开始攻角转弯；根据点火俯仰角的大小，可能是正攻角的爬升，也可能是负攻角的下压；到达一定的速度倾角后，攻角变为0，开始重力转弯，一二级分离；二级工作后段开始下压，满足入轨速度倾角约束；三级为定轴飞行段。

图1 俯仰程序角示意图

弹道计算中，地球模型采用不旋转的均质圆球形大地，火箭采用三自由度质点模型，火箭在重力G、推力P、气动力A作用下飞行：

在计算中，假设载机在不同倾角的爬升飞行状态下释放火箭，火箭点火时攻角均为0°，点火俯仰角等于速度倾角。

火箭三级均采用耗尽关机，入轨速度依靠入轨质量进行调节，入轨质量越大，火箭的运载能力也越大。

在弹道计算完成后，本文采用速度损失的方法分析点火俯仰角对火箭飞行性能的影响。

式中，ΔVg为重力损失，弹道越高陡，重力损失越大；ΔVd为阻力损失，ΔVp为喷口压力损失，弹道越低平，阻力损失和喷口压力损失越大；ΔVα为攻角损失，推力方向偏离速度方向越大，攻角损失越大；g为当地重力加速度；Θ为当地速度倾角；CdqSM为气动阻力；Sep为当地喷口大气压力；P为发动机真空推力；α为攻角。

3 弹道优化

在每个固定的点火俯仰角下，对飞行程序进行优化，得到最大入轨质量和最优弹道，供分析比较。在此基础上，再将点火俯仰角作为优化变量之一，得到最优点火俯仰角。

3.1 优化模型

优化的目标为入轨质量最大，因此选择目标函数为

minJ(u)=-mt

式中，mt为三级关机时的质量。

优化变量是程序角的关键参数：

u=[tturn,αm,tαEnd,tgEnd,tdStart,tdEnd,Kd,φ0]T

式中，tturn为程序转弯开始时间，αm为最大转弯攻角，tαEnd为攻角转弯结束时间，tgEnd为重力转弯结束时间，tdStart为下压开始时间，tdEnd为下压结束时间，Kd为下压斜率，φ0为点火俯仰角。

约束条件主要包括终端约束和优化变量范围约束，终端约束即入轨点高度、速度和倾角，每个优化变量根据工程实际也有一定的取值范围。

3.2 优化方法

SQP算法的基本思想是在当前点处通过求解一个二次规划子问题得到更好的迭代点，通过在一系列的点上进行这样的二次规划求解，逐步逼近最优点。对于一个含等式约束和不等式约束的非线性规划问题：

在迭代点xk处，对应的二次规划子问题可表示为

式中 ，d为搜索方向；▽f(xk),▽g(xk),▽h(xk)为函数在xk处的梯度，Bk矩阵为Lagrange函数的Hessian矩阵的良好近似[1]。

4 仿真算例及结果分析

本文主要针对如下4个问题进行仿真分析：不同点火倾角下最优弹道的特征；不同点火倾角下速度损失分析；点火倾角的优化；攻角误差的影响。

算例中，目标轨道为低地球轨道，入轨点高度199km，速度7793m/s。由于入轨点很低，采用三级连续工作方案。空中发射，初始速度200m/s，高度10000m。

4.1 点火倾角对弹道的影响

分别对0°到90°范围内的10个状态进行弹道优化，结果表明，不同的初始弹道倾角的影响主要体现在攻角转弯段：水平点火时，需要长时间大正攻角的爬升；垂直点火时，需要大负攻角的下压，这都会导致较大的攻角损失和阻力损失，故存在一个最优的点火俯仰角，使入轨质量最大。

图2显示了不同初始姿态下攻角的变化历程，由上向下，点火俯仰角从0°变化到90°。

图2 攻角随点火俯仰角的变化

优化中，最大攻角的绝对值限制为20°[2]，当点火俯仰角在30°以下或80°以上时，最大攻角均达到20°。在60°与70°的点火俯仰角之间，可能存在不需要攻角转弯的“纯重力转弯弹道” 。

图3显示了不同初始姿态下速度倾角的变化历程。由下向上，点火俯仰角从0°变化到90°。

图3 速度倾角随点火俯仰角的变化

虽然初始速度倾角不同，但经过一段攻角转弯之后，速度倾角趋于一致。

由于转弯攻角和转弯时间的差异，火箭的运载能力也随之发生变化，与水平点火状态相比，入轨质量的增加量记为Δm。图4显示了Δm与点火俯仰角的关系。点火俯仰角为60°时，入轨质量最大，比水平起飞时大69.89kg。点火俯仰角为50°时的入轨质量略小于60°。点火俯仰角偏离50°～60°的范围越远，入轨质量越小。

图4 入轨质量随点火俯仰角的变化

初始姿态和速度的变化，不只对运载能力有影响，水平点火时的低高度大攻角爬升，还明显地增大了最大qα值，使火箭载荷增大，结构质量增加。图5为各条弹道最大qα值的变化，点火俯仰角60°时qα值最小，仅为水平点火时的1/50。点火俯仰角大于60°时，最大qα值随俯仰角的增大而增大。

图5 最大qα随点火俯仰角的变化

4.2 点火倾角对速度损失的影响

速度损失可以直观地反映各因素对火箭运载能力的影响，是评价弹道性能的实用方法。针对不同点火俯仰角下的最优弹道，计算出的各项速度损失如图6所示。

图6 不同点火俯仰角下的分项速度损失

每个柱体从下至上的4种色块分别代表重力损失、阻力损失、喷口压力损失和攻角损失。柱体的总高度代表总速度损失。由于末端速度相同，总速度损失越小，理想速度就越小，表明运载能力越大。

重力损失在总速度损失中占据最主要地位，点火俯仰角越大，重力损失越大，这与地面发射运载火箭弹道越高，重力损失越大的规律相同。由于在高空发射，各状态的重力损失均比地面发射小。

阻力损失在地面发射弹道中通常是第2个大的速度损失因素。而空中发射提高了发射点，同等条件下，阻力损失将减小。点火俯仰角较大的弹道确实体现了这一现象。但对于水平发射和接近水平发射的弹道，由于有长时间的大攻角爬升，引起了比地面发射更大的速度损失。

喷口压力损失在各因素中占比最小，点火俯仰角越大，喷口压力损失越小。

攻角损失来自于攻角转弯、下压等飞行动作，接近于纯重力转弯的点火俯仰角为60°，70°的弹道攻角损失最小。水平发射时，攻角损失较大。

4.3 最优点火俯角

将点火俯仰角作为优化变量加入优化计算，可以得到最优点火俯仰角为55.7°，对应的运载能力比50°和60°时提高约0.7kg。可见在最优点火俯仰角附近，入轨质量曲线较平。这个特性允许放大对姿态控制的误差要求，对姿控设计有利。

最优点火俯仰角接近于“纯重力转弯”的角度，这反映出运载能力主要受转弯引起的速度损失影响。最优点火俯仰角低于纯重力转弯的角度，从图6中分析，主要原因是纯重力转弯时，弹道比较高陡，重力损失较大。

4.4 有攻角误差时的分析

上面的分析是在点火攻角为0°的假设下进行的。而实际飞行中，由于点火前自由飞行段误差的作用，可能无法保证以零攻角的状态点火。

采用固定点火速度倾角的方法研究有攻角时点火的情况。在一定的点火速度倾角下，进行弹道优化，即可得到有攻角时最优点火俯仰角和最大入轨质量，结果如表1所示。

表1 有攻角时的优化结果

可见在有攻角的情况下，最优点火俯仰角仍在50°～55°间，相对无攻角时，入轨质量的变化也不大，仅为1kg左右。初始攻角对最优点火俯仰角和运载能力影响较小。

5 结论

本文在点火俯仰角可变，攻角为0°的状态下对点火俯仰角对弹道参数的影响进行了研究。以入轨质量最大为目标，以程序角控制参数为优化变量，采用SQP方法对每个状态进行了弹道优化，优化结果表明点火俯仰角对运载能力有一定影响，倾斜点火的方案既能避免大攻角飞行造成的载荷问题，又能提高运载能力。

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