殊"图"同"归"

马征光

摘要：解决平面几何问题时，经常会遇到求线段之和最小值的问题。如果没有思路，学生常常会觉得无从下手，将军饮马问题形象直观易于理解，我们把这个问题作为基础知识，类比到其他较复杂图形中，找到解题思路，解决一类题目，不同的情境图形，归结到同一个思路，达到了殊"图"同"归"的效果。

关键词：将军饮马；轴对称；线段之和最短

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）05-0327-02

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学的学者海伦，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从山峰A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的营地B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。

这个问题的解决并不难

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，

取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的.如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.

可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些。

以将军饮马图形为基本图形，我们可以解决很多复杂的图形问题。

1 在三角形里

例、如图2所示，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点.若AE=2，EM+CM的最小值为

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，对比将军饮马问题，此题的线段AD相当于河流，点C，E相当于山峰A与营地B，根据等边三角形关于中线的对称性，利用将军饮马思路此题迎刃而解。

解：因为等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4， ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2，EF=

2 在四边形里

2.1 在正方形中。

例.如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短.求：最短距离EP+BP.

分析：对比将军饮马问题，此题的线段AC相当于河流，点B，E相当于山峰A与营地B， 根据正方形沿对角线的对称性，利用将军饮马思路此题迎刃而解。

2.2 在菱形中。

例 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。

分析：对比将军饮马问题，此题的线段AC相当于河流，点B，E相当于山峰A与营地B， 根据菱形沿对角线的对称性，利用将军饮马思路，此题迎刃而解。

解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE+PB和最小，为线段ED.因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形.因为E是AB的中