一题三解，融会贯通

第22届全国中学生物理竞赛预赛第九题是一道考核电磁感应的问题。在教学中，学生提出了参考答案以外的几种解法，总结出来，以飨读者。

题目：

如图所示，

水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O。一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为μ 。圆环处于磁感应强度大小为B=Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离。金属细圆柱与圆环用导线ed连接。不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场。问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度 匀速转动。

注： （x+△x）3=x3+3x2△x+3x（△x）2+（△x）3

解法一：

将整个导体棒分割成n个小线元，小线元端点到轴线的距离分别为r0（=0），r1，r2，……，ri-1，ri，……，rn-1，rn（= a），第i个线元的长度为△ri=ri-ri-1 ，当△ri 很小时，可以认为该线元上各点的速度都为vi=ωri ，该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

三种解法，各有千秋。第一种解法，用微元法和高价小量近似，把本来需要用应用微积分解决的问题，降解为初等数学范畴内解决，对培养学生的物理建模和数学分析能力颇有益处。

由 得到 是微元法的精髓。第二种解法，应用微积分解题，直截了当，非常简便，但要求应用高等数学知识，不过，新课程高中数学涉及了简单的微积分，优秀学生应该可以接受。第三种解法，用能量关系来解决物体问题，是另一条路径。学生能够想到这些方法，应用物理知识解决问题的思路就開阔了。

作者简介：朱国强，物理高级教师，教育硕士，市学科带头人。