初中数学探究式教学的实践与思考

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在教学目标中明确指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。同时又指出：教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。应该说，经过组织、内化的有效数学活动经验就成为了知识，一般而言，在数学活动中，帮助学生获得有效的活动经验，并将其恰当使用，是提高学生认识数学对象、解决数学问题能力不可缺少的环节。而探究性教学，是指在教学中创设一种符合学生认知规律的、轻松和谐的研究气氛与环境，让学生通过自已的活动去探究与体验数学家发现知识的过程。美国心理学家布鲁纳说：“探究是教学的生命线”。在探究性教学中，学生以主人的身份主动地去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，有利于丰富学生的数学活动经验，有利于培养学生的创新能力。那么在初中数学教学中，如何进行探究性教学，是当代数学教师必须具备的一种能力，本文就此谈谈笔者的实践与思考。

一、生成式探究

所谓生成式探究是指在课堂教学过程中，对动态生成的问题进行的局部探究。课堂是教师教学的主阵地，是学生获得知识的主渠道。在这个动态过程中，学生作为认知的主体，会带着自己的认知结构参与课堂活动，从而使课堂生成了许多课前没有预料到的情况，当情况发生时，教师要针对生成的问题类型进行有效的处理，其中有些问题进行局部探究是一种很好的选择。第一，动态生成的问题情境，学生具有迫切地想探究事物本质属性的认知心理，通过探究使学生能够揭开问题的本质。第二，探究有助于增强学生的主体意识。在课堂探究中，每一个学生都有机会发表自己的认识和观点，每一个学生都能对其他学生的观点进行评价，这样有利于调动学生的学习积极性、主动性、自觉性，从而发挥学生的主体作用，增强学生的主体意识。第三，探究有利于培养学生的观察能力，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力，有利于培养学生创新能力。例如：点到直线距离概念教学。

案例1。

师：很多同学在运动会上跳过远，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？（不犯规的情况下）

生1：从起跳点鞋的后跟测到落地点鞋的后跟。

生2：不对，是从起跳点鞋的前尖测到落地点鞋的前尖。

生3：你们两个说的都不对，是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的。（同学认为生3说的正确。）

师：如何从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板？

生4：用皮尺测量。

师：如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？

生5：不一样，不公平。

生6：从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板前边，并且皮尺要垂直于起跳木板。

师：为什么要垂直于起跳板前边？

生7：不垂直成绩不唯一，而且都比垂直的远。（联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）

师：皮尺相当于一条线段，起跳木板前边相当于一条直线的一部分。实际上是一条满足什么条件线段的长度是运动员的成绩？

生7：落入沙坑鞋的后跟到起跳板前边所在直线的垂线段的长度。

师：这实际就是一条直线外一点到一条直线的距离，叫做点到直线的距离。请同学给出定义。

生8：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。

思考：以上是一个概念的教学过程，动态生成的探究问题，通过教师根据问题变化情况，由教师提出局部探究的主题，学生进行局部探究的过程。首先教师提出问题，跳远时，裁判员是如何测量运动员成绩的？整个问题在学生的回答的过程中，动态生成的第一个探究问题是当学生得到“是从落入沙坑鞋的后跟测到起跳板的”，一部分学生感觉得到答案了。这时教师反问到“如何测？起跳板是一块板，有一定的长度和宽度，测到不同的位置，运动员的成绩是一样的吗？”引发了学生的探究，然后经过学生的争辩，最终得到了问题的答案。

以上通过教师、学生思维的相互碰撞，使学生的思维得到激活，最后对如何科学合理测量成绩达成共识。最后给出点到直线距离定义，水到渠成。在此过程中，学生如数学家一样，以主人身分去发现问题、探究解决问题，培养了学生的创新能力。

二、递进式探究

所谓递进式探究，是指利用递进式变式题组创设问题情境，进行的探究。递进式变式题组是指在课堂教学中，为了达到某一教学目的，根据学生的认知规律，合理有效地设计一组数学问题，且这组数学问题又有一定的内在逻辑联系，即前一个问题是后一个问题的特殊情况，后一个问题是前一个问题的一般的情况，这样由特殊到一般的题目组合称为递进式变式题组。这种递进式变式题组，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋式上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握规律。规律是事物发展过程中本身所固有的必然联系。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，人们只能发现规律，利用规律，不能改变规律。苏霍姆林斯基说“人的内心里有一种根深蒂固的需要，总想感到自己是发现者、研究者、探寻者”。数学教学中有很多规律需要学生去探究，教学中要鼓励学生去探究规律并掌握规律，教师要为学生的学习创设探究情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，这样才能调动学生探究的积极性，激活学生探究的潜能，以寻到规律。

案例2：幂的乘方法则的探究过程，给出如下递进式变式题组，以使学生自主探究规律。

（1）（23）4=2（） （2）（a3）4=a（ ）

（3） （2m）n =2（） （4）（am）n=a（）

思考：显然（1）是底数、指数都是具体数，学生很容易利用乘方的意义得到问题的答案。接下来（2）（3），在（1）的基础上，（2）把底数由具体数变成了字母，（3）把指数由具体数变成了字母。（4）是在（2）（3）的基础上，把底数、指数都变成了字母，得到了一个一般的幂的乘方的规律。在以上探究过程中，充分运用一组递进式变式题组，由特殊到一般地进行探究，使学生跳一跳就能摘到果子，从而使学生能够顺利地得到乘法法则，同时建构数学认知结构。

三、类比式探究

所谓类比式探究，是指当新知识与已有的知识之间有相同或相似之处时，运用类比推理进行的探究。第一，类比推理作为一种合情推理的方法，在数学知识的发现中发挥着巨大的作用。波利亚曾说过：“类比是伟大的引路人”，并在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答”。第二，《标准》对类比方法提出了教学建议，“通过观察、实验、归纳、类比、推断获得猜想”。第三，通过类比有利于学生的知识发生正迁移，利用已有的旧知识，来认知新知识，有利于使学生头脑中建立完善的知识网络，从而加深对数学知识的理解。例如，通过平方根和立方根知识，让学生类比探讨n次方根知识。通过分数的基本性质，让学生类比探讨分式的基本性质。通过全等三角形的判定方法，来探索相似三角形的判定方法等。

四、实验式探究

所谓实验式探究，是指利用实验的方式进行的探究。《标准》指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。通过数学实验，使学生把所学的知识用于生产、生活、实际，体验知识和形成过程，用数学的思维方式去观察世界、感悟世界。在函数教学后，设计探究活动。

案例3：一天中，8时至12时，一个电线杆的影子长度与时间之间是否存在函数关系？

（1）收集数据

（2）分别以时间为横坐标，影子长度为纵坐标，在平面直角坐标系中，分别描出各点，并用光滑曲线将这些点连接起来。

（3）影子长度L是时间t的函数吗？为什么？

思考：实验性探究要与学生的生活紧密结合。因为要探究的问题是学生没有解决过的问题，对学生有一定的挑战性，但如能与学生的生活经验相结合，有利于问题的解决。一是学生生活经验经内化后，成为了学生进行认知的固着点，这样有利于学生进行新的建构。二是要与学生的学习内容相结合。这样便于学生利用已有的知识进行深入的研究。三是实验本身要有很强的可操作性，这样更有利于学生的实验操作，获得知识。上述实验性探究在函数教学后，让学生自主进行探究，首先可使学生加深对函数概念的深层次理解，同时掌握进行实验研究的基本方法。其次让学生体会到数学是平平常常的、自自然然的、就在我们身边，就在我们生活中。

五、推理式探究

所谓推理式探究，是指通过逻辑推理的方式进行的探究活动。《标准》指出：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力。李大潜院士认为：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了”，价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。姜伯驹院士在政协的提案指出：“三角形内角和等于180°这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”可见在数学教学中培养学生的推理能力是数学教学的核心任务之一，有很多知识是需要学生通过理性推理获得，因此教学中，教师要创造条件，让学生通过逻辑推理的方式去获得知识，这是培养学生的独立思考能力、创新能力非常重要的方法之一。

案例4：平行四边形一条对角线所在直线上的两个不同点（非平行四边形对角线的交点，两个点同时在一条对角线上或同时在一条对角线的延长线上）如果分别到这条对角线两个端点的距离相等，那么这两点与平行四边形另外两个顶点的连线构成的四边形是什么图形？

分析：探究此命题分五种情况，二种情况是两点都在对角线上（非端点，非对角线交点），另二种情况是两点都在对角线的延长线上，还有一种情况是两个点就是对角线的两个端点，这时命题显然是成立的，因此下面只对另外四种情况进行证明。

情况1：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF。探索四边形BEDF形状，并证明。

证明：联结BD交AC于点O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-OF，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。

情况2：如图2，已知？荀ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF，探索四边形BEDF形状。

证明：联结BD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD

又因为AE=CF，所以AE+OA=CF+OC，即OE=OF，所以四边形BEDF是平行四边形。

情况3：如图1，已知？荀ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE。

探索四边形BEDF形状。

分析：由AF=CE，所以AF-EF=CE-EF，所以AE=CF，从而问题转化为情况1。

情况4：如图2，已知？荀ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AF=CE，探索四边形BEDF形状。

分析：由AF=CE，所以AF-AC=CE-AC，所以CF=AE，从而问题转化为情况3。

综合以上情况，四边形BEDF是平行四边形。

思考：一是推理性探究，探究问题要在学生的最近发展区内。让学生跳一跳，就能摘到果子，获得成功的体验，并在成功的快乐中，充分激活学生的潜能。二是探究的问题应该有代表性、典型性，是一类问题的突出代表，具有共性特点。目的是尽量做到能用典型问题这一把“钥匙”开一类“锁”，以达到“做一题，通一类，会一片”的效果。三是上述数学问题只要满足本命题的条件，都可通过证明平行四边形的策略进行解决，此法是解决这类问题的一个通法。数学问题多种多样、千变万化，但有很多问题的本质都是相同的，只不过把它的非本质属性变化了一下，对这些问题加以归纳、概括其本质属性，就会得到解决此类问题通用解题方法，从而达到举一反三、事半功倍的教学效果。

总之，在教学中一是要结合学生的生活经验，二是要结合学生的数学认知结构，三是要考虑问题研究的价值。科学合理地选择探究性的问题，使学生经历发现、操作、实验、归纳、猜想、验证等数学活动，从而培养学生的探究精神、探究能力和创新能力。

参考文献

[1] 刘海涛.创设认知情境激活学生潜能.中学数学（初中版），2011（11）.

[2] 刘海涛.优化递进式变式题组应用的几点思考.中小学数学（初中版）2012（3）.