一道研究性学习试题的命题立意探析

赵思林 邓才明

2001年4月9日，教育部颁布的《普通高中“研究性学习”实施指南（试行）》明确指出：“研究性学习是学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。”所谓数学研究性学习，是指学生在教师的指导下，从学生自身的数学学习和社会生活、自然界以及其他学科中选取有关数学研究问题，以探究的方式主动地获取数学知识、应用数学知识、解决数学问题的学习方式。数学研究性学习的本质在于，让学生亲历数学问题的发现、提出、分析、简化、探究、解决、推广等探索过程；在探索解决问题的过程中，学习新的数学思想、方法和知识，学习解决问题的思维策略和操作程式，学习探究或研究数学的一般方法；在研究性学习活动中，体会探索数学规律的艰辛与乐趣，认知数学问题解决的策略与步骤，评估研究活动的结果与意义。数学研究性学习一般以问题为出发点，围绕问题开展自主学习和探究，自主学习为解决问题提供知识储备，探究为解决问题发现思维策略和操作方法。由于命制研究性学习试题具有相当大的难度，从而使考查研究性学习的试题难以走进高考。2012年福建卷理科第17题以“某同学在一次研究性学习中发现”为背景，精心设计了一道研究性学习试题，让人眼前一亮。本文拟从命题立意的角度对这道研究性学习试题进行一番探究与分析。

一、试题与解答

2012年福建卷理科第17题（文科第20题）：

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

1.sin213°+cos217°-sin13°cos17°

2.sin215°+cos215°-sin15°cos15°

3.sin218°+cos212°-sin18°cos12°

4.sin2（-18°）+cos248°-sin（-18）°cos48°

5.sin2（-25°）+cos255°-sin（-25）°cos55°

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

解：（1）选择2式，计算如下：

限于篇幅，（2）的其他证明方法不再给出。

二、命题立意探析

下面，我们从命题理念、能力立意等角度对这道试题的命题立意进行一番探究与分析。

1.命题理念

命题理念之一：体现高中数学新课程倡导的“研究性学习”理念。

本题在我国高考数学中首次直接考查“研究性学习”能力。该题以“某同学在一次研究性学习中发现”为情境，解答本题考生需要经历“情境—问题—探究—发现—推广—证明”的过程，这就实现了对“过程与方法”目标的考查，体现了“研究性学习”的理念。

命题理念之二：体现“源于教材，高于教材”的命题理念。

显然，这个试题是以人教社A版新教材上的一道复习题为背景的，体现了“源于教材、高于教材”的命题理念。对引导高中数学教学回归教材、研究教材、抑制“题海战术”等是有益的。

人教社A版普通高中课程标准实验教科书必修《数学4》[1]第138页B组第3题是：

观察以下各等式：

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

试题命制以教材为背景，回避“题海”与“宝典”，值得提倡。本题的素材取自于教材，这说明，中学开展研究性学习可以从教材做起，这样就不会加重师生的负担。

命题理念之三：让学生体会研究性学习的成功。

中国教育部颁布的《普通高中“研究性学习”实施指南（试行）》虽已过十年，但实施的情况并不理想，其中一个重要原因是很多教师和学生认为，数学研究性学习的难度大、花费的时间多。本题难度的设计比较适中，考生容易入手，能够体会研究性学习的成功与乐趣。也可以说，本题对打消研究性学习的畏难情绪是有益的。

2.能力立意

能力立意之一：考查学生的认知“评价”能力。

问题（1）暗含考查学生的认知“评价”能力，而“评价”位于布鲁姆提出的认知水平六个层次（识记、理解、运用、分析、综合、评价）的最高层。因为题目中提供了五个式子可供选择，这里就有如何选择、怎样选择才最佳的问题，这当然需要考生对五个式子进行评估后，才能选出使运算最简单的式子。显然，（1）的选择是不惟一的，具有开放性，但选2式求解是最简单的，也就是说，选2式是最佳方法。

能力立意之二：全面考查推理能力。

本题既考查了合情推理又考查了演绎推理（数学证明）。通过合情推理发现一般结论即得到猜想，通过演绎推理（数学证明）检验猜想的正确性。这可以使考生对数学推理有比较全面的认识。问题（2）式的答案及证明方法都是不惟一的，比如其答案也可以是

这就体现了研究性学习的开放性，包括情境设置的趣味性，问题选择的多样性，解题方法的开放性，问题结论（答案）的不惟一性等。

能力立意之三：全面考查思维能力。

本题（2）的解答需要经历先“猜想”后“证明”，这既考了直觉思维又考了逻辑思维，从而实现了对数学思维能力的全面考查。

能力立意之四：考查探究能力。

探究是研究性学习的核心。缺少探究的研究性学习是低效的甚至是无效的。因此，研究性学习应体现探究性。探究包括解题思路的探索，对原问题的变式、推广、加强，对研究成果的应用、提炼、反思等。本题第（2）问具有较强的探究性，其结论还可以作进一步的推广，这可使学生产生或进入“完而未完”、“意味无穷”的思维场情境。

推广1：在△ABC中，恒有sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C

证明：由正弦定理和余弦定理，得

综上可见，本题源于教材，该题的设计新颖独特，体现了高考命题的智慧。研究性学习走进高考，可以更好地发挥高考“指挥棒”的正面作用。从引导高中数学教学改革和新课程的实施的角度看，这真是一道不可多得的好题。

参考文献

[1] 刘绍学，章建跃等.普通高中课程标准实验教科书（A版）数学4.北京：人民教育出版社，2007.