小议尺规作圆切线的方法

史国盈

随着新一轮课程改革的逐步深入，初中数学教材也随之进行了全面的更新，改头换面，知识结构理性化，教材的难度逐步降低了，更多地以学生为主体，让学生去发现问题、解决问题，注重培养学生的素质，锻炼学生的能力。教师也要转变自己的思想观念，由原来知识的传播者转为知识发现的引导者，因此教师也要不断地学习、不断地探索新东西。在教学第一线十几年的亲身体验，我发现初中数学中的四项基本的尺规作图（即：1.作一个角等于已知角 2.作线段的垂直平分线 3.作已知角的平分线 4.过一点作已知直线的垂线）作用很强大，以这四项基本的尺规作图可以进行多种图形的尺规作图。但多年来未发现圆切线的尺规作图的方法，有学生问及，总觉得有些遗憾和尴尬。因此，本人在课余时间查阅资料，请教有经验的老教师，对此进行了多方的探究和摸索，功夫不负有心人，最终让我想出来了。现在介绍一下，和各位同仁共勉。

圆切线的尺规作图分两类：一类是过圆上一点作圆的切线；另一类是过圆外一点作圆的切线（注：过圆内一点无法作圆的切线）。具体尺规作图方法如下：

过圆上一点作圆的切线

如图（甲）：已知⊙O和圆上一点P，经过点P作⊙O的切线。此类作图方法较为简单，只需连接点P和圆心O，构成半径OP，然后过点P作半径OP的垂线即可。

具体作法如下：1.连接OP，并延长。

2.以P为圆心，以适当的长为半径画弧，交OP及OP的延长线于点M、N。

3.分别以M、N为圆心，以大于线段MN的一半的长为半径画弧交于点Q。

4.作直线PQ。则直线PQ即为所求的切线。

（理论依据：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

过圆外一点作圆的切线

如图（乙）：已知⊙O和圆外一点P，经过点P作⊙O的切线。具体作图方法要分两步走。

第一步：在练习本上或其他地方作一条线段AB等于⊙O的半径，如图（丙）再过其一个端点B（或A）作线段AB的垂线BF，然后以点A为圆心，以线段AC的长为半径画弧交BF于点C，连接AC构成一直角三角形。这里的线段BC的长就等于点P向⊙O作的切线的切线长。

第二步：在图（乙）上，以P为圆心，以线段BC的长为半径画弧，交⊙O于点M、N。过点P、M（或P、N）两点作直线PM（或直线PN），则直线PM（或直线PN）就是要求作的⊙O的切线。

作为一名数学教师要考虑数学逻辑的严密性，下面证明其正确性。

证明：如图（丁）连接OM、OP，则线段OM是⊙O的半径。三条线段OP、OM、PM构成三角形。由第一步的作图过程、图（丙）、勾股定理的逆定理，易知OM⊥PM，所以直线PM是⊙O的切线。（理论依据：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

由于本人的能力有限，以上的作图方法和证明过程可能存在谬误，敬请指正。

（作者单位 河南省舞钢市八台一中）