处理平面向量问题：化向量为数量的两类方法探究

佟海军

内容摘要：掌握平面向量知识的关键是抓住平面向量的双重意义，特别是向量的“数”.把向量转化为数量，平面向量的最值问题就迎刃而解了.在高中数学教学中，教师要培养学生由向量转化数量的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

关键词：平面向量数量基底法坐标法

随着高考的改革，平面向量知识的考查在高考中占着很大比例.特别是江苏省对平面向量的数量积要求是C级（掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题）.因此每年的高考试卷和各市的高考数学模拟题对平面向量的知识考查越来越多，命题也很新颖.对此类题，很多学生感到难度很大，无从下手.

向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型.平面向量是高中数学阶段的一种重要数学工具.学习平面向量就是让学生掌握一种新的数学工具，让学生体会数学的内部联系，体会数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用.

平面向量是数形结合的载体，不但具有具有数的意义，而且具有形的意义.因此平面向量本身具有较强的运算工具性，同时它在处理函数、三角、解析几何、代数等各个不同数学分支问题中有着独到之处和桥梁作用.因此，平面向量在高中数学内容中占着重要位置.当然高考试卷中平面向量的试题是必不可少.随着每年高考试题对平面向量的命题的更新，平面向量的题目就不断地创新，就像上面举例的例1和例2两道例题，都是考察平面向量的知识的试题.但是有很多学生感觉非常困难，不知如何去求解.

其实对于平面向量这类的试题，要抓住平面向量的特点就可以了.因为平面向量具有数与形的双重意义，那么在处理向量的问题时，我们就抓住向量的“数”，向量的问题就可以解决了.把向量转化为数之间的运算，化向量为数量.

对于平面向量怎样化为数量呢？本人探究的有两类方法可以转化，在此谈谈一下肤浅的探究，意在共同交流.

如上面的例题2和例题3把所求的向量问题转化为已知的长度和夹角的向量作为基底来处理，就转化已知的长度和角度的数量来进行运算，从而达到解决所求的问题.所以，我们遇到求有关平面向量的取值和最值问题，可以去思考所求的向量能否用一组基底来代换，当然，选取基底最好知道这组向量的模（长度）和夹角.这样就可以把所求的向量转化成数量间的运算了.

第二类方法为坐标法（解析法）.所谓坐标法就是利用平面直角坐标系来处理平面向量的方法.其实坐标法就是基底法的特殊形式，选择一组互相垂直，长度为1个单位的向量作为基底，这样就构成了向量的坐标形式，从而达到了坐标法.根据笛卡尔提出在平面（空间）建立坐标系，那么点与数（组）作为点的集合的图形与作为数组间关系的方程有着相对应的关系，就可以把几何问题转化代数问题.所以要求的向量问题就可以通过建立坐标系，把向量计算转化为坐标之间系数的运算，从而把向量转化为数量.

上面的例1和例4的向量问题是利用坐标法来处理的，把向量转化为数量去进行运算.当然上述两道题都可以用其他方法来解决，比如可以基底法，构造法等等，但是，比较多种方法，可以说坐标法比较直接，非常简单.建议学生要学会运用坐标法来处理向量问题.

对于处理向量问题，把向量转化为数量两种途径是基底法和坐标法.两种方法有区别和联系，区别在于基底法是把所求的向量转化为基底向量来处理，而坐标法是把所求向量转化到坐标系中坐标来处理.他们的联系是坐标法是建立在基底法的基础之上，是基底法的升华.是基底法的特殊形式.在处理向量的问题时，若能建立坐标系的时，我们应该首选坐标法，因为坐标法比基底法运算更为简单.

通过本题的两种解法很明显看出，利用向量的坐标法来处理平面向量问题比基底法更为优越，所以在处理这类问题时，要首选坐标法来处理，（建立直角坐标系），若无法建系时，再去考虑基底法来处理.

对于处理平面向量的最值问题，我们就可以抓住把平面向量知识转化为数量之间的运算，而把向量转化为数量，我们有两把利剑：“基底法”和“坐标法”.只要我们熟练的掌握这两种方法，无论在高考试卷还是在市检测试卷中出现的平面向量问题，我们就可以得心应手去处理这类问题.