变中有不变

舒晓懿

一、 变中有不变

南开大学的顾沛教授在讲授《数学文化》中指出：从变化的数学模型中研究不变的性质是数学研究的方向之一，这个观点对于高中数学教学有着普遍的指导意义，同时，对于理解高考数学试题的考查导向也有着指导意义.高中圆锥曲线内容因其思维复杂、计算繁难等特点，使得学生惧怕.在历年的高考中，众多省份将解析几何试题作为压轴试题，目的是考查学生数学素养和继续学习能力.圆锥曲线中“动”与“静”的相互转化，变化中蕴含了大量的不变性质，探究圆锥曲线中不变的性质，是众多命题专家名制圆锥曲线试题出发点之一；探究变化中不变的性质，也正是圆锥曲线的魅力所在.

2012年湖北高考数学（理科）试题中解析几何试题第二小问实测难度系数为0.07，属于难题.本文首先给出试题的解答，然后从“变中有不变”的角度给出解读和解析，尝试探讨高考解析几何试题考查的方向.

上述思路的切入方法均有两种运算途径，即通过直线方程与椭圆方程联立后求出点的坐标，或者利用避求交点“设而不求”的思想方法.前者解法朴实自然，是基本解法，运算量较大，但如果注意观察图形特征，把握运算细节，加上细心演算，同样能得出正确结果. 后者运用“设而不求”的思想方法，即抓住Q、N、H三点共线得出PQ的斜率，利用、在椭圆上，利用点差法得出PH的斜率，再通过整体转化寻求PQ和PH斜率间的关系，从而得到简捷运算的途径.

三、 解析几何高考试题命题方向的一点思考

一道好的高考试题应该是根植于高中数学教学，来源于教材，高于教材，尤其是压轴题应更多的体现数学学科内在发展的要求.本题第（Ⅰ）问是基于人教A版教材选修21第41页例2改编而成.通过对此例的一般性考虑，即椭圆可以认为是把圆拉伸或压缩得到的（圆与椭圆在仿射变换可以互变）.m是变化的，但不变的是图形的本质——椭圆（或者是圆），揭示了圆与椭圆内在本质的联系；

本题第（Ⅱ）问的立意是基于圆的几何性质——直径所对的圆周角是直角，而这一性质经过伸缩变换成椭圆后转化为椭圆上一点与椭圆的一条直径（椭圆过中心的弦）的两个端点的斜率之积为定值，这一性质还可以推广到双曲线.在这一变化过程中，变化的是载体，不变的是性质：积为定值.本题呈现了六种解法，从解法上看，解法1、2、3、4、5，只是设点、求点的方式不一样而已；就高中教学实际来看，尤其是文科教学，解法6是不可取的.如果从圆锥曲线“不变”的性质入手，那么本题解法实质就是：

从这两道试题对比来看，江苏试题三问之间没有关联，似有拼凑之嫌，为考查而考查；而湖北试题根植于高中教材，探究了圆锥曲线中“不变”的性质：第一问探究了圆与椭圆的“互生”，第二问探究了圆与椭圆性质的相通性，并且可以看出湖北省的第二问借鉴了2011年江苏试题的第三问，但湖北试题衔接自然，解法自然，是一道难得的好题.

在高考解析几何试题命题方向上，从湖北连续两年的试题来看，都显示了命题专家的思考，其一：考查解析几何中不变的性质；其二：从教材例、习题中抽象出一般性质进行考查；其三：不拘泥于“一招一式”的为考查而考.这种思考对于我们高中数学教学是有很好的导向作用的.本题实测难度是0.07，不能不引起我们教师对自己教学的反思，在此不展开讨论.