从“任意角的三角函数”的两个“假设”看数学思维能力的培养

孙朝霞

摘 要：教学的本质是思维对话。高中数学教学亟待培养学生的思维能力。于浅层次的、以简单轻松甚至娱乐性为目的小学数学而言，高中数学，提倡以训练学生思维能力为目的的“深度教育”。很多教师也注意到了这一点，因此在上数学课前，都注意设计精彩导入，调动学习兴趣。

关键词：知识水平；思维；假设性结论

一、0“假设”与横向思维

思维的创造性是思维能力培养的关键。创造性，主要是指不墨守成规，要奇异、求变，对事物保持应有的好奇心，在课堂听讲和学习中，注意发现问题、提出问题，并且能创造性地解决问题。教师根据学生已有的知识水平和思维层次，由浅入深，有意识地制造矛盾冲突，启发他们从无疑中生疑，发展求异思维。

任意角的三角函数定义是本节课的重点和难点。按照课本安排先通过锐角三角函数的定义利用坐标推导任意角三角函数定义，然后借助单位圆下定义。在这个时候，如果直接切入“你能结合锐角三角函数定义在单位圆中用坐标表示正弦、余弦和正切吗？”这样的单刀直入，学生的学习兴趣就会大打折扣，并且任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系，提出这样一个看似很有启发性的问题，学生只能通过“预习”来解决，最后很有可能就演变成教师的自说自话，学生着着实实就成了一个听众。

在这个时候，教师完全可以推出一个浅显的假设：如果正弦、余弦和正切能用坐标表示，你认为应用哪些点的坐标来表示？

并联系现实生活进行诱导：画出一个角，看哪些点与角有密切关系（预设学生回答：终边上的点）。

探索性诱导：观察P点位置，当点在哪时三角函数值既简单又方便？

经过上面三层设问很自然地引进单位圆，并轻松地解决本节的重点及难点，在思维的不断转化中体现课堂的高效。

从上可以看出，假设性提问并不是异想天开，而应根据一定的常识，围绕提出的问题可能出现的结果而展开的。而在思维的过程中，可以从两个方面入手：求同和求异。求同，即引导学生关注现象的共同点（过P始终可做三角形POM），从不同的现象中寻求所包含的共同本质和规律。求异，即引导学生关注现象之间的差别。求异思维给学生带来的思维空间远远超过求同思维（点P位置不同三个值的简单性和方便度就不同），它有利于思维翅膀更好地飞翔。

二、0“假设”与纵向思维

思维的深刻性主要是指能深刻理解概念，能周密地分析问题，并且善于抓住事物的本质和规律。所以，我们要鼓励学生，一是鼓励学生追根究底，凡事都要去问为什么，坚决摈弃死记硬背，不但要“知其然”，更要“知其所以然”。本节课的一个假设性结论：PM就是正弦；OM是余弦；AT就是正切。你认为这个假设合理吗？

这时引导学生进行追问：

（1）角的终边在哪些位置时假设成立？

（2）是不是一定就不能用这三条线来表示？若能，应做哪些改进？

利用横向思维和纵向思维的相关特点，引导学生提出“假设性”的问题，同时，利用这些假设性的问题对学生的横向思维和纵向思维再进行训练，提高思维的创造性和深刻性，这是通过数学课堂教学训练学生思维能力的方式，也是目标。和谐课既是一种教学理念，也是一种理想追求，数学课堂。只有真正开出“思维之花”，才能结出“和谐高效”之果，让我们拭目以待。

参考文献：

关鸿羽，向铭欣.提高教育教学质量的策略与方法.北京：中国和平出版社，2000-03.

（作者单位 山东省牟平第二实验小学）